UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
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Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 24 mai 2007 Calculatrices non autorisees Horaire : 13h30-15h30 Exercice 1 (6p) Pour tout x reel on pose f(x) = 2x ∫ x e?t2 dt. a) Montrer que f est impaire et determiner le signe de f ?. b) Montrer que pour tout x ≥ 0, on a 0 ≤ f(x) ≤ xe?x2 . En deduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞. c) Donner l'allure de la courbe representative de f . d) Montrer que la serie de terme general fn converge uniformement sur R. e) Donner le developpement en serie entiere de f au voisinage de l'origine. Quel est le rayon de convergence de cette serie entiere ? Exercice 2 (1,5p) Trouver la limite de la suite (un)n≥1 definie par un = n ∑ k=1 n k2 + 2kn + n2 . Exercice 3 (1,5p) Calculer 1 ∫ ?1 dt t? i . Exercice 4 (3p) a) Ecrire la premiere formule de la moyenne.

  • arctan n?1n

  • dt t?

  • arctann ≤

  • premiere integrale

  • integrale ∫

  • rayon infini

  • serie de rayon infinie

  • e?t2 dt

  • rayon de convergence


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Publié le 01 mai 2007
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Langue Français

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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2Semestre 3bisResponsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Date:24mai2007Calculatricesnonautoris´ees Horaire : 13h3015h30
2x Z 2 t Exercice 1(6p) Pour toutxpnolesoeer´f(x) =e dt. x 0 a) Montrer quefedenmieretd´igesrlneseitpmiaertef. 2 x b) Montrer que pour toutx0, on a 0f(x)xeeeEd.laletimie´dnriudf(x) lorsquextend vers +. c)Donnerlalluredelacourberepre´sentativedef. n d)Montrerquelase´riedetermege´n´eralfecuonniverg´emeformrtnusR. e)Donnerled´eveloppementense´rieentie`redefau voisinage de l’origine. Quel est le rayondeconvergencedecettese´rieenti`ere? n X n Exercice 2(1,5p) Trouver la limite de la suite (un)n1epnied´raun= . 2 2 k+ 2kn+n k=1 1 Z dt Exercice 3.(1,5p) Calculer ti 1 Exercice 4enneam(oy.ofere`imledelumrcr)E)a3preapelir 2 n+n Z x arctan n b) Calculer la limite de la suite (un)n1apeirdn´eun=dx. x 2 n Exercice 5(,4p5a)E)utleer´rebmontuotruopreidαegralnt´eleicndereegocvnlaulnnno Z dx Iα=. α1 1x(x1) 1 b) CalculerI2en utilisant le changement de variablet=x1. Exercice 6(4,5plete´hoea)E)rcriveonenrgemr`eced.eeodec´nim Z n1 arctanx n b) Montrer que la suite (un)n1aprneide´un=dxconverge et calculer 2 1 +x 0 sa limite.
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