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le 17 Juin 2004 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
Examen final
Printemps 2004
Chaque exercice sera r´edig´e sur une feuille diff´erente. Les
calculatrices sont interdites. Le seul document autoris´e est une feuille
A4 manuscrite.
Exercice 1 1) On consid`ere le syst`eme lin´eaire suivant :
8
m:x+ (m¡1):y +(m+1):z =a<
m:x +(m+1):z =b
:
(m¡1):y +(m+1):z =c
0 1
a
3@ APour quels m a-t-on une solution quel que soit b 2R ? Expliquer.
c
2) Grˆace `a un changement de variable, donner toutes les primitives de :
5x 4x 3x 2xe ¡2:e ¡e +2:e
4xe ¡1
3) D´eterminer une ´equation diff´erentielle admettant
1x 2xfe + +(C +C :x):e ;C ;C 2Rg1 2 1 24
comme ensemble de solutions. Expliquer.
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE)
Grˆace `a la d´efinition de l’int´egrale de Riemann, montrer que la suite (S ) de termen n2
g´en´eral
k=n¡1X n
S =n 2 2n +k
k=0
admet une limite lorsque n tend vers +1 et calculer cette limite. Justifier.
TOURNERLAPAGES.V.P.
1Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE)
Soit l’application lin´eaire donn´ee dans la base canonique par
3 3f : R ¡! RA 0 1 0 1
x x
@ A @ Ay 7! A: y
z z
0 1
2 3 ¡3
@ Aou` A= 3 1 ¡2 .
3 2 ¡3
1) Trouver le polynˆome caract´eristique de f . En d´eduire ses valeurs propres.A
2) Trouver une base des sous-espaces propres.
0 1
a 0 0
3 @ A3) Trouver une base B deR telle que T :=M = 0 b 1 avec a;b2R.f ;BA
0 0 b
¡1En d´eduire P telle que P:T:P =A.
4) R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
8
0< y = 2:y +3:y ¡3:y +x1 2 31
0y = 3:y +y ¡2:y +x1 2 32: 0y = 3:y +2:y ¡3:y +x1 2 33
2