UTBM 2006 MT25 médian

Description

MT25 Printemps 2006Examen médian du 28 avril 2006Durée : 2 heure(s)On rendra une copie (au moins et même blanche) pour chacun des deux exercices.Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.On pourra admettre chaque résultat et passer à la suite.Exercice 1 (Cycloïde). Soient a et λ deux réels strictement positifs.On considère un cercle de centre Ω,derayona se déplaçant «sans glisser». Soit un point M fixedececercle et un point N défini par−−→ −−→ΩN = λΩM. (1)N(t)M(t)Ωtj0 IiFig. 1. Le cercle définissant la cycloïde et les points M et N.Initialement, à t=0,lepointΩapourcoordonnées(0,a) et M est l’origine. Puis, pour tout t≥ 0,le cercle s’est déplacé vers la droite de telle sorte que −−→ −→t = ΩM,ΩI , (2)où I est le point de contact entre le cercle et l’axe des x. Voir figure 1.1/52/5(1) Montrer en écrivant l’égalité de la longueur de l’arc de cercle IM et la distance OI,quelescoordonnées (x (t),y (t)) de N vérifientλ λx (t)=a(t− λsin t), (3a)λy (t)=a(1− λ cos t). (3b)λ(2) On s’intéresse à la courbe décrite par N(t) quand t décrit R.(a) Montrer que l’on peut se réduire à l’intervalle [0,π].(b) Calculer les dérivées de x et de y .λ λ(c) (i) On suppose tout d’abord que λ∈]0,1[. Dresser le tableau de variation de x et y .λ λ(ii) On suppose maintenant que λ ∈]1,+∞[. On introduit l’unique réel θ ∈]0,1[ tel0que1cos θ = . (4)0λMontrer que l’on a t− θ t + θ0 0x (t)=2aλsin sin , (5)λ2 2et en ...

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• Publié par: shura
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Extrait

MT25

Durée : 2 heure(s)

Examen médian du 28 avril 2006

Printemps 2006

On rendra une copie (au moins et même blanche) pour chacun des deux exercices.

Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.

On pourra admettre chaque résultat et passer à la suite.

Exercice 1(Cycloïde).Soientaetλdeux réels strictement positifs. On considère un cercle de centreΩ, de rayonase déplaçant «sans glisser». Soit un pointMfixe de ce cercle et un pointNdéfini par −→−−→ ΩN=λΩM .(1)

N(t) M(t) Ω t  j 0I  i

Fig. 1.Le cercle définissant la cycloïde et les pointsMetN.

Initialement, àt= 0, le pointΩa pour coordonnées(0, a)etMest l’origine. Puis, pour toutt≥0, le cercle s’est déplacé vers la droite de telle sorte que   −−→  −→ t= ΩM ,ΩI ,(2)

oùIest le point de contact entre le cercle et l’axe desx. Voir figure 1. 1/5