MT25 Printemps 2007Examen médian du 13 avril 2007Durée : 2 heure(s)Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.On rédigera les ...
Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.
Printemps 2007
On rédigera les exercices 1 et 2 sur une copie (ou plus) et l’exercice 3 sur une autre.
Exercice 1.Soit la courbe paramétrique du plan définie par 2 t x(t) =,(1a) 2 (t−1) (2t−1) 3 t y(t) =.(1b) 2 (t−1) (2t−1) (1) Étudier les variations dexetyet dresser leur tableau de variation.Pour cette question, 3 on admettra quela fonction polynômialet→t+t−1n’admet qu’une seule racine réelle α≈0.6823278038280193. (2) Déterminerla tangente ent= 0et la nature du pointt= 0. (3) Déterminerles branches infinies et la position de la courbe par rapport à ces branches. (4) Déterminer la tangente à la courbe ent=±∞et la position de la courbe par rapport à sa tangente ent=±∞ (5) Tracerla courbe. Exercice 2.Soit la courbe définie en polaire par 2 r(θ) = sinθ .(2) 3 (1) Montrerque l’on peut étudier la courbe pourθ∈[0,3π/4]. (2) Dresserle tableau de variation dersur[0,3π/4]. (3) Définirles tangentes à la courbe aux points particuliers. (4)Question facultativeDéterminer les points doubles. (5) Tracerla courbe.