UTBM analyse numerique et splines 2006 gi mt44 genie informatique semestre 2 partiel

Description

MT44 Printemps 2006Examen médian du 3 mai 2006Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre toutrésultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1 (De l’interpolation polynômiale aux splines).On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle [A,B] deR.(1) Étude sur une partie [x ,x ] de [A,B]0 1On considère les réels x et x tels que x

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• Publié par: shura
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Extrait

MT44

Durée : deux heure(s)

Examen médian du 3 mai 2006

Tout document autorisé  Calculatrice autorisée.

Printemps 2006

On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.

Exercice 1(De l’interpolation polynômiale aux splines). On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur un intervalle[A, B]deR. (1)Étude sur une partie[x 0 , x 1 ]de[A, B] On considère les réelsx 0 etx 1 tels quex 0 < x 1 et[x 0 , x 1 ]⊂[A, B]. On note    y=f(x);y=f(x);y= y 0 =f(x 0 ); 1 1 10 0 f(x 1 ). Soitl 0 etl 1 les polynômes de Lagrange relatifs au support{x 0 , x 1 }. (a) Rappelerl’expression del 0 (x)etl 1 (x)pour toutxde[A, B]. (b) Rappeler,sans calculs inutiles, les valeurs de : l 0 (x 0 );l 1 (x 1 );l 0 (x 1 );l 1 (x 0 ). (c) Pourtoutide{0,1}, on pose :    2 2 b(x1) =−2l(x) (x−x) [l(x)]etb(x) = (x−x) [l(x)]. i ii ii2+ii i (i) Montrerque pour toutjde{0, ...,3}, lesb j sont des fonctions polynômes de degré 3.  pour toutjde{0, ...,3}, les nombres d(x)en fo (ii) Calculerérivésb j nction desl i (x). 2 (iii) Montrerque les fonctionsb j vérifient, pour tout(i, k)de{0,1}: b i (x k ) =∂ ik etb 2+i (x k ) = 0 ;   b(x) = 0etb(x) =∂ i k 2+ iki k , sachant que∂ ik désigne le symbole de Kronecker. (iv) Montrerque les{b j }forment base deP 3 , espace vectoriel surRdes fonctions 0≤j≤3 polynômes de degré au plus3. 1/4