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--a---£--£££Ł-ł-£paæ-ö---ç÷MT18-2005A-FS01-01 Aleth ChevalleyAutomne 05 Final MT18Documents autorisés avec formules de trigonométrie et autres théorèmes. Calculatrice autorisée. Exercices interdits.1 1Exercice 1 : On étudie la suite ( )u définie p :a ur = 1 + et pour tout entier naturel non nuul n,= u (1+ ). n 1 n+1 n n+1e e–xOn ...

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Automne 05

Aleth Chevalley

MT18-2005A-FS01-01

MT18

Final

( 1 )

( 2 )

Montrer que, pour tout entier strictement positif n, ln un= f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( n )

Documents autorisés avec formules de trigonométrie et autres théorèmes. Calculatrice autorisée. Exercices interdits.

Exercice 1 : On étudie la suite ( un par :) définieu111et pour tout entier naturel non nul n,un1un(1n11). e e

On pose f ( x ) = ln ( 1 + e–x)

Montrer que la suite ( un) est strictement croissante

Montrer que la suite ( un) est majorée et convergente. Soitlsa limite.

Se et limS2 S1et S2sont des séries géométriques, montrer que lim1e11 n n+ +

2 e e21

1 1 1 On poseS11 12..1.netS422...2n e e e e e e A l’aide des relations ( 1 ) et ( 2 ), montrer que :S112S2lnunS1

b. c.

Partie A: Soit f une fonction définie surpar f ( x ) = ( 2 + cos x ) e1-x 1.Montrer que pour tout x de ( x ) > 0, f

Montrer que pour tout x de,2 cosxcosxsinx 4 En déduire que, pour tout x de + cos x + sin x > 0, 2 Montrer que f est strictement décroissante sur.

Calculer la valeur approchée del à 0.1 près.

22e21nll1 Montrer que(e1)e1

Exercice 2 :

Montrer que, dans l’intervalle [ 0 ; ( x ) = 3 admet une solution unique f], l’équation Donner un encadrement de .

a. b.

a. b. c.

Montrer que pour tout x de, e1-x e 3 ( x ) f1-x En déduire les limites de f en +et -. Interpréter géométriquement la limite de f en +.

pour cela, on étudie les

1.Montrer que, pour tout nombre réel t strictement positif,tt22ln(1t) fonctions u et v définies pour tout réel t positif par : 2 u ( t ) = ln ( 1+ t ) – t et v ( t ) ln ( 1 + t ) – t +t = 2 2x 2.En déduire que, pour tout nombre réel x,exe2f(x)ex

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