UTBM mathematiques de base 1 pour les sti stl 2005 tc

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Informations

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• Langue: Français

Extrait

Automne 05

.

Aleth Chevalley

MT18-2005A-FS01-01

 

 

 MT18

Final

( 1 )

( 2 )

b.

Montrer que, pour tout entier strictement positif n, ln u n = f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( n )

Documents autorisés avec formules de trigonométrie et autres théorèmes. Calculatrice autorisée. Exercices interdits.

Exercice 1 : On étudie la suite ( u n  par :) définie u 1 1 1 et pour tout entier naturel non nul n, u n1 u n (1 n 1 1 ) . e e

On pose f ( x ) = ln ( 1 + e –x )

3.

a.

Montrer que la suite ( u n ) est strictement croissante

a.

Montrer que la suite ( u n ) est majorée et convergente. Soit l sa limite.

1

4.

S e  et lim S 2 S 1 et S 2 sont des séries géométriques, montrer que lim 1 e1 1  n  n+ +

2 e e 2 1

c.

1 1 1 On pose S 1 1 1 2 .. 1 . n et S 42 2 ... 2n e e e e e e A l’aide des relations ( 1 ) et ( 2 ), montrer que : S 1 1 2 S 2 lnu n S 1

b. c.

a.

Partie A: Soit f une fonction définie surpar f ( x ) = ( 2 + cos x ) e 1-x   1. Montrer que pour tout x de ( x ) > 0, f

Montrer que pour tout x de, 2 cosxcosxsinx    4 En déduire que, pour tout x de + cos x + sin x > 0, 2 Montrer que f est strictement décroissante sur.

Calculer la valeur approchée de l  à 0.1 près.

c.

2 2e 2 1 nll 1 Montrer que (e1)e1

b.

4.

Exercice 2 :

Montrer que, dans l’intervalle [ 0 ; ( x ) = 3 admet une solution unique f], l’équation Donner un encadrement de .

a. b.

a. b. c.

3.

2.

Montrer que pour tout x de, e 1-x  e 3 ( x ) f 1-x    En déduire les limites de f en +et -. Interpréter géométriquement la limite de f en +.

 pour cela, on étudie les

t  

1. Montrer que, pour tout nombre réel t strictement positif, t t 2 2 ln(1t) fonctions u et v définies pour tout réel t positif par : 2 u ( t ) = ln ( 1+ t ) – t et v ( t ) ln ( 1 + t ) – t + t = 2 2x 2. En déduire que, pour tout nombre réel x, e x e 2 f(x)e x