UTBM mathematiques pour l image 2008 gi

Utbm mt51 Examen médian Printemps 2008Exercice 1 Etudedeproduits scalaires duplan vectoriel V22On rappelle que pour tout triplet de réels (a,b,c) vérifiant : a > 0 et b −ac < 0, on définit un produitscalaire ϕ surV via la relation :2(a,b,c)(u ,v ),(u ,v ) = au u +b(u v +v u )+cv v .1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2Un triplet (a,b,c) vérifiant les propriétés indiquées sera ultérieurement dit licite.1.1 Signification des produits scalaires ϕ(a,b,c)a) Montrer que le produit scalaire euclidien ordinaire fait partie de la famille décrite ci-dessus.b) Décrire brièvement une situation des métiers de l’image qui conduit à l’utilisation d’autres produitsscalaires.1.2 Orthogonauxdevecteursdonnésausensde ϕ(a,b,c)a) On donne pour cette sous question seulement :a = 1; b = 2; c = 8.• Vérifier que cette donnée définit un produit scalaire licite ϕ .(1,2,8)⊥• Déterminer alors [(1,−1)] ensemble des vecteurs deV orthogonaux à (1,−1), au sens du produit2scalaire associé aux réels a, b, c choisis.b) On suppose pour la suite, avoir démontré que pour tout triplet (a,b,c) licite, l’orthogonal du vecteur nonnul (u,v) est donné par :⊥[(u,v)] ={x.(−(bu+cv),au+bv) / x∈R}.1.3 Etudesd’orthogonauxpour un ϕ donné(a,b,c)On choisit de nouveau pour cette sous question, le produit scalaire ϕ .(1,2,8)⊥a) Déterminer [(1,0)] .⊥b) Déterminer [(0,1)] .⊥c) Déterminer [(1,−1)] . d) Dans le plan vectoriel V ,ϕ , on souhaite étudier des relations angulaires, donc on considère de2 (1,2,8)façon ...