UTBM suites series fonctions de variable complexe 2006 tc

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• Publié par: shura
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MT 26  Final Printemps 06 Jeudi 29 juin 2006 Matériel autorisé: uniquement une feuille aidemémoire A4 recto I. Première partie ( 6 + 6 points ) 1°) Soit aÎ R \ N et la fonction f, de période 2 p définie sur ] %p , + p f (x)] par : 1 sin( a x) . + a) Représenter graphiquement cette fonction en prenant par exemple a = 0,5. b) Existetil des valeurs de a pour lesquelles f est continue ? c) Développer la fonction f en série de Fourier. p 2 (2p # 1)( % 1) n d) En déduire les sommes S 1 et S 1 . å å 1 2 2 2 2 (2p # 1) %a 2 2 p ³ 0 n ³ 1 c n %a h n 2 n n x # x 2°) Soit la suite de fonctions (f ) définie par " x Î % 1, # 1 " n ³ 2 f n (x) 1 n n>1 2 n % 1 a) Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme de cettesuitesur [ % 1, +1]. ¥ 1 b) Déterminer le domaine de convergence (D) de lasérie f S(x) n (x) . å n 1 2 1 n c) Décomposer en éléments simples les fractions et et calculer la forme explicite (à 2 2 n % 1 n % 1 l’aide de fonctions usuelles) de S(x). d) Calculer, si ce calcul est possible, S( % 1).

II. Seconde partie points )+ 4 + 3 ( 2

2 1°) Développer en série entière les fonctions g et h définies par g(x) 1 1 % x et h(x) 1 1 % x pour x Î I, avec I = ] % 1, +1[. 2 % % # 1 % 2°) On considère l’équation différentielle (E 0 ) c 1 x h I = ] résout sur 1, +1[. y" x 0 qu’on y' y a) Déterminer une série entière en 0 solution de l’équation (E ). 0 b) En déduire sous forme explicite deux fonctions indépendantes y et y , solutions de (E ) et écrire 1 2 0 la solution générale sur I. 3°) Soit la fonction f définie sur R² par f(x,y) = x² y % x y² + xy. a) Déterminer l’ensemble S des points critiques, c’estàdire l’ensemble des points en lesquels on pourrait avoir un maximum ou un minimum. F 1 1 I b) Montrer que les points O(0, 0) et A G % , J sont dans S et étudier l’existence d’un extremum en H K 3 3 ces points. J’aime les calculs faux, car ils donnent des résultats plus justes  Hans ARP ( 1886  1973 )