UTBM systemes mecatroniques 2006 gm

Description

jjOrganisez votre temps MC59 - A06correctement et bon travail ! MEDIAN d u 10 /11/2005W. Charon(8h à 10h)Les n otes de cours et u ne calculette scientifique sont admises. U ne machine p rogrammable ou u n ordinateur m ême p ortable n ’est p as au torisé.Question 1 – 6 points L Soit la pout re bi appuyée représentée ci-c ontre. Elle est de longueur L L/2 et de m odule de flexion EI. La pout re ne fléchit qu e dans le pl an du dessin. J 2 1 m Un s olide est fixé à l'extrémité droite. Son inertie est de valeur 2J=mL/4 et sa m asse est considérée comme négligeable. Masse Inertie concentrée concentrée Une m asse m est concentrée en L/2 A ppui simple A ppui simp le Une excitation extérieure de bruit bl anc agit sur l a m asse m. y L’objectif e st de di minuer a utant qu e pos sible la vi bration de l'inertie du s olide autour d e son angle perpendiculaire au x dessin.(-) f 21 Cet objectif doit être atteint à l’aide d’un actionneur intégré en bout de poutre et permettant de produire un moment M en bout à droi te autour d e l’axe pe rpendiculaire au d essin. Il s’agit par e xemple d’une roue à réaction.Un c apteur m esure la vi tesse du d éplacement vertical de la m asse concentrée au m ilieu de pout re.On d emande d e d éfinir les m atrices d ’ac tionneur B, d’excitations extérieures D, de sortie C et Cp r et d e capteur M et M .p rN.B. : On choisit comme coordonnées généralisées, le déplacement vertical de la masse ...

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• Langue: Français

Extrait

MC59 - A06

MEDIAN du 10/11/2005

(8h à 10h)

Organisez votre temps

correctement et bon travail !

W. Charon

Les notes de cours et une calculette scientifique sont admises. Une machine programmable ou un

ordinateur même portable n’est pas autorisé.

Question 1 – 6 points

Soit la poutre biappuyée représentée ci-contre. Elle est de longueur

L

et de module de flexion

EI

. La poutre ne fléchit que dans le plan du

dessin.

Un solide est fixé à l'extrémité droite. Son inertie est de valeur

J=mL

2

/4

et sa masse est considérée comme négligeable.

Une masse

m

est concentrée en

L/2

Une excitation extérieure de bruit blanc agit sur la masse

m

.

L’objectif est de diminuer autant que possible la vibration

de l'inertie du solide autour de son angle perpendiculaire au

dessin.

Cet objectif doit être atteint à l’aide d’un actionneur intégré

en bout de poutre et permettant de produire un moment

M

en bout à droite autour de l’axe perpendiculaire au dessin. Il s’agit par exemple d’une roue à réaction.

Un capteur mesure la vitesse du déplacement vertical de la masse concentrée au milieu de poutre.

On demande de définir les matrices d’actionneur

B,

d’excitations extérieures

D,

de sortie

C

p

et C

r

et de capteur

M

p

et

M

r

.

N.B. : On choisit comme coordonnées généralisées, le déplacement vertical de la masse concentrée en

milieu de poutre, soit

f

1

, et l’angle de rotation du solide en bout de poutre autour de l'axe

perpendiculaire au plan du dessin, soit

ϕ

2

.

Sans tenir compte de l'amortissement, l’équation du mouvement vaut :

[

m

0

0

J

]

[

¨

f

1

¨

2

]





L

48

E I

[

L

2

−

3

L

−

3

L

16

]



−

1

[

f

1



2

]

=

Bu



Dw

Question 2 – 6 points

La poutre encastrée représentée ci-contre est de longueur

L

et de

module de flexion

EI

. La poutre ne fléchit que dans le plan du

dessin. Des masses de même valeur

m

sont concentrées au milieu et

à l'extrémité libre. Un ressort de raideur

3

7

48

L

I

E

k

=

relie l'extrémité

libre à la fondation comme indiqué sur le dessin.

Sans tenir compte de l'amortissement, l’équation du mouvement

s'écrit :

m

[

1

0

0

1

]

[

¨

y

1

¨

y

2

]



48

E I

7

L

3

[

16

−

5

−

5

3

]

[

y

1

y

2

]

=

[

1

0

]

u



[

0

1

]

w

Sachant que

=

2

7

L

3

m

48

E I

,

l

es valeurs propres valent :



1

=

1,3



2

=

17,7

et

x

y

f

1

ϕ

2

(-)

J

2

Inertie

concentrée

L

1

m

Masse

concentrée

L/2

Appui sim ple

Appui simple

L

m

masse

concentrée

m

ressort

masse

concentrée

L/2

k

x

y

y

1

y

2

P

1

P

2