UTBM techniques mathematiques pour l ingenieur 2006 gi

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MT41 Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur  UTBM le 15 Janvier2007 final Examen S. Abboudi  Résumé de cours autorisé *** I Calcul des variations Déterminer la courbe extrémale de la fonctionnelle : t 2 2 2 J( x( t ))=2 x)( t-3x' (t ) dt , t 0 , t 10 , x( t) 1 et x' ( t) 2 ò 1 21 1 t 1 II Distribution d(x) : Dirac, P(x) : Porte, (x) : Heaviside. 1)Les produits cidessous sontils toujours possibles ? justifier a) f ( x ).g( x )f ( x ), g( x ) : deux fonctions localement sommables b) y( x ). f ( x ) f ( x ) : fonction loc. som., y( x ) : fonction indéfiniment dérivable. c) f ( x ).g( y )f ( x ), g( y ) : deux fonctions localement sommables d) f ( x )* g( x )f ( x ), g( x ) : deux fonctions sommables 2)Simplifier les distributions singulières T(x) (sin(x)x  1)d(x  2) et S(x) (sin(x)x  1)d' (x) 3)Calculer la dérivée première des distributions :  x) x)  H(1H (2T( x ) S( x )T (x )cos( 3x) et 3x).R(x) cos(P(ax b) ,aetbdes constantes. Détermineraetbpour que S( x )R( x ) ou S' ( x )R' ( x ) III Produit de convolution 1)Calculer le produit de convolution d' ' (x)xH (x ) et conclure. 2)On considère l’équation : u' ' (x)p( x ) , xÎR Calculer la réponse implsionnelle du système et par suite la solution de cette équation dans les cas oùle second memebre exp( xp( x )) défini sur l’intervalle est [ 1,+¥] puis sur l’intervalle [ 1,2 ] .

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