Bac 2012 S Maths oblig

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6. 12MASCOME1 page1/6 OBLIGATOIRE EXERCICE1(4points) Communàtouslescandidats ³ ´→− →− Leplanestmunid’unrepèreorthonormé O ; ı ,  . Onconsidèreunefonction f dérivablesurl’intervalledb−3, 2ec. Ondisposedesinformationssuivantes: • f(0)= −1. 0 0• ladérivée f delafonction f admetlacourbereprésentativeC ci-dessous. ~ O ~ı 0C Pourchacunedesaffirmationssuivantes,diresielleestvraieoufausseetjustifierlaréponse. 01. Pourtoutréelx del’intervalledb−3, −1ce, f (x)60. 2. Lafonction f estcroissantesurl’intervalledb−1, 2ec. 3. Pourtoutréelx del’intervalledb−3, 2ec, f(x)>−1. 4. SoitC lacourbereprésentativedelafonction f.

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• Publié par: lewebpedagogique
• Publié le: 25 novembre 2013
• Nombre de lectures: 319
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2012

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l'épreuve : 4 heures

Coefcient : 7

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candida t doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire gurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la p récision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet compo rte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.

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EXERCICE 1 (4 points)

Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthonormé ³ O; − ı → , −→ ´ .  On considère une fonctionfdérivable sur l’intervalledb−3, 2ec.

On dispose des informations suivantes : f(0) −1.  la dérivéef 0 de la fonctionfadmet la courbe représentativeC 0 d-seic.usso

C 0

 ~

O

ı ~

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1.Pour tout réelxde l’intervalle−db3,−1ce,f 0 (x) 6 0.

2.La fonctionfest croissante sur l’intervalle−bd1, 2ec.

3.Pour tout réelxde l’intervalled−b3, 2ce,f(x) > −1.

4.SoitCla courbe représentative de la fonctionf. La tangente à la courbeCau point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1, 0).

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EXERCICE 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procé- dure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70% d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.

1.On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les événements suivants : D: « Le candidat est retenu sur dossier », E 1 candidat est retenu à l’issue du premier entretien », Le : « E 2 : « Le candidat est recruté ».

a.Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

. . . E 2 . . . E 1 . . . D . . . E 2 . . . E 1 . . . D

b.Calculer la probabilité de l’événementE 1 . c.On noteFl’événement « Le candidat n’est pas recruté ». Démontrer que la probabilité de l’événementFest égale à 0,93.

2.Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne parXla variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a.Justifier queXsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b.probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arron-Calculer la dira à 10 −3 .

3.Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?

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EXERCICE 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne parfla fonction définie sur l’intervallebd1,db∞par f(x) x1 1 ln ³ x x 1 ´ . 1.Déterminer la limite de la fonctionfen∞. 2.Démontrer que pour tout réelxde l’intervalledb1,bd∞,f 0 (x) x(x 1 1) 2 . Dresser le tableau de variation de la fonctionf. 3.En déduire le signe de la fonctionfsur l’intervallebd1,∞bd.

Partie B

1 1 1 Soit (u n ) la suite définie pour tout entier strictement positif paru n 1 2  3 ... n −lnn.

1.On considère l’algorithme suivant :

Variables :ietnsont des entiers naturels. uest un réel. Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur den. Initialisation : Affecter àula valeur 0. Traitement : Pourivariant de 1 àn. 1 Affecter àula valeuru. i Sortie : Afficheru.

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n3. 2.Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur deu n lorsque l’utilisateur entre la valeur den.

3.résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10Voici les −3 .

n4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000 u n 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0, 578 0,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (u n ) et son éventuelle convergence.

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Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (u n ) telle que pour tout entier strictement positifn, 1 1 1 u n 1  ... −lnn. 2 3n 1.Démontrer que pour tout entier strictement positifn,

2.

u n1 −u n f(n) oùfest la fonction définie dans la partieA.

En déduire le sens de variation de la suite (u n ).

a.Soitkun entier strictement positif. Justifier l’inégalité Z k k 1 µ 1 k − x 1 ¶ dx > 0. ire que Z k1 1 1 En dédu dx 6 k . k x Démontrer l’inégalité ln(k1)−lnk 6 k 1

(1).

b.Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivementkpar 1, 2, ...,net démontrer que pour tout entier strictement positifn,

1 1 1 ln1 .... ( n ) 6 1 2 3n

c.que pour tout entier strictement positifEn déduire n,u n > 0.

3.Prouver que la suite (u n ) est convergente. O

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n ne demande pas de calculer sa limite.

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EXERCICE 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité −→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ³ O;u,v −→ ´ . On appellefl’application qui à tout pointMd’affixezdifférente de−1, fait correspondre le pointM 0 d’affixe z 1  . 1 Le but de l’exercice est de déterminer l’image parfde la droiteDd’éqnoauitx − 1 . 2 1.SoientA,BetCles points d’affixes respectivesz A  −, 2 1 z B  − 2 1 i etz C  − 2 1 −.i 1 2 a.Placer les trois pointsA,BetCsur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique. b.Calculer les affixes des pointsA 0 f ( A),B 0 f ( B) etC 0 f ( C), et placer les points A 0 ,B 0 etC 0 sur la figure. c.Démontrer que les pointsA 0 ,B 0 etC 0 ne sont pas alignés.

2.Soitgdu plan qui, à tout pointla transformation Md’affixez, fait correspondre le point M 1 d’affixez1. a.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationg. b.Sans donner d’explication, placer les pointsA 1 ,B 1 etC 1 , images respectives pargde A,BetCet tracer la droiteD 1 , image de la droiteDparg. c.Démontrer queD 1 est l’ensemble des pointsMd’affixeztelle que|z−1|  |z|.

3.Soithl’application qui, à tout pointMd’affixeznon nulle, associe le pointM 2 ’affid.xe 1 z 0 a.Justifier queh ( A 1 ) A 0 ,h ( B 1 ) B 0 eth ( C 1 ) C. b.Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a :

1 −11 ⇔ | z−1 |  | z | . ¯ z ¯ c.En déduire que l’image parhde la droiteD 1 est incluse dans un cercleCdont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l’image parhde la droiteD 1 est le cercleCprivé deO. 4.Déterminer l’image par l’applicationfde la droiteD.

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