Bac 2019 : le corrigé de l'épreuve de mathématiques pour les terminales S (spécialité)

Marie

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• Publié par: ASeres
• Publié le: 21 juin 2019
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• Langue: Français

Extrait

Bac2019
Épreuvedemathsspécialité
SérieS

Élémentsderéponse

Exercice1.
PartieA.
x –x x –x1a)Commelalimiteen+∞dee est+∞etcelledee est0onadoncautotal-∞b)f’(x)=(e –e )/2
x –xorx≥0donce ≥e etf’(x)≤0,feststrictementdécroissante.
c)TVIsurl’intervalle[0;+∞[fcontinuecardérivable,strictementdécroissanteetcommef(0)=2.5ona
bien0comprisentre–∞et0,l’équationf(x)=0aurauneseulesolutionstrictementpositive.
2)f(-α)=f(α)=0donconabiendeuxsolutionsréelles.

PartieB.
1)f(0)=2.5(m).
x –x x -x x -x2a)1+(f’(x))²=1+(e –e )²/4=(4+(e )²+(e )²-2)/4=(e +e )²/4.
x -x x -x
b)sionposeg(x)=(e +e )/2onapourprimitiveG(x)=(e –e )/2etI=G(α)–G(0).
α –αDoncI=(e –e )/2puisendoublant(parsymétrie)onobtientlerésultatannoncé.

PartieC.
1)l’airevautdeuxfoisl’intégraleentre-αetα(donc4foissamoitié)moinsl’airedel’ouverturequivaut
2.
2)autotal42m²(deuxfaçadesetlabâchequiauneairede4.5foislavaleurduB2b).

Exercice2.
PartieA.

1.
a)m=(9+25)/2=17


b)m’=17aussi(parsymétrie).
2.Probabilitéde11/16danslecasdelaloiuniformeet0.841pourlaloinormaledoncenmoyenne0.76.

PartieB.
1)lesvaleursP(B )=1-a puisP (A )=0.8etP (A )=0.3permetd’obtenirn n An n+1 Bn n+1
a =0.8a +0.3(1-a )quidonnelaformuledemandée.n+1 n n
2)
a)Récurrence:poura etpourlepassageentrel’hypothèseàlaconclusion:sansproblème.1
b)Onaa –a =0.5a +0.3–a =-0.5(a -0.6)ora -0.6estnégatifdoncladifférenceestpositiveetlan+1 n n n n n
suiteestcroissante.
c)Suitecroissanteetmajoréepar0.6convergeverslquivérifiel=0.5l+0.3(pointfixe)soitl=0.6.
3)
a)u =a –0.6=0.5a -0.3=0.5(a -0.6)=0.5u .Nousavonsunesuitegéométriquederaison0.5etn+1 n+1 n n n
depremiertermeu =a-0.6.1
n-1b)Un=(a-0.6)0.5 eta =u +0.6.n n
c)Comme-1<0.5<1lasuitegéométriqueconvergevers0etlasuite(a )vers0.6.n
d)A,carplussouvent(limitep=0.6)vuequeB.

Exercice3.
Affirmation1:vraiecarz = 3+ietz = 3–idoncOA=OB=AB=2.A B
2019Affirmation2:faussecarlaformulevaut0(ellevaut2 (2cos(ᴨ/2))
Affirmation3:vraiecarlesignedef’ (x)dépenddusignede1-nxquiserapositifavant1/ndoncfonctionn
croissanteentre0et1/npuisdécroissante.
–x -xAffirmation4:vraiecarlalimitedelafonctionen+∞vaut0parencadrementona:-e ≤f(x)≤e .
15Affirmation5:faussecaronaural’arrêtduprogrammequand2
>Asoit15ln(2)>ln(A).


Exercice4,spécialité.
PartieA.
1)Comme:6x(-4)-5x(-5)=1,AappartientàS.
2)Ondoitobtenir:ad-6=1soitad=7doncennombresentiersona(1;7)ou(-1;-7)ou(7;1)ou(7;-1)soitquatresolutions.


�= 1+2�
3a)Equationdiophantienne:ontrouve kentier.
�= 2+5�
b)Commeonveut:5a-2b=1onretrouvel’équationprécédentequiauneinfinitédesolutions.
PartieB.
1)RelationdeBézout.
2a)AB=I.
b)Aestinversibled’inverseB(pardéfinition).
c)SioncalculelaformuledemandéepourBonada–bcquivautad–bcdonc1carAappartientàS.
! -1 !!3)a)pourobtenir ilsuffitdecalculerleproduit:A .!! !
b)D,PGCDdexetydivisex’ety’(commecombinaisonsdexetdey)doncD’≤DcarD’estlePGCD(donc
lepluspetitdiviseur)dex’etdey’.DemêmeD’,PGCDdex’etdey’divisexety(commecombinaisonsde
x’etdey’)doncD≤D’;AinsiD=D’.
4)CessuitessontengendréesparunematricedeSdonconcherchelePGCDde2019et673quivaut673.