Bac ES juin 2009: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

QCM limites de fonctions, graphe probabiliste et matrice de transition , droite d'ajustement affine et estimation.
Sujet du bac 2009, Terminale ES, Afrique

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 63
• Langue: Français

Extrait

Bac ES – Centres trangers – juin 2009 EXERCICE 1(4 points) Commun  tous les candidats Cet exercice est un questionnaire  choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposes, une seule des trois rponses A, B et C est exacte. Recopier le numro de chaque question et, en face de celui-ci, indiquer la lettre (A, B ou C) dsignant la rponse qui convient. Aucune justification nest demande. Barme : Une rponse exacte rapporte 1 point, une rponse fausse enlve 0,5 point. Une question sans rponse ne rapporte ni nenlve aucun point. Si le total des points est ngatif, la note attribue  lexercice est ramene  0. −x 1)limxe est gale  : x→ − ∞ Rponse A: 0. Rponse B:+∞. Rponse C:−∞. 2)On considre une fonctionudfinie, strictement positive et drivable sur un intervalle I. On noteu sa drive. On considre la fonctiondfinie pour tout nombre relxappartenant  I par : (x) = ln(u(x)). Si lon suppose queu est ngative sur I alors : Rponse A: on ne peut pas dterminer le sens de variation de la fonction. Rponse B: la fonctionest dcroissante sur I. Rponse C: la fonctionest croissante sur I. 3)Dans lintervalle ]0 ;+∞[, lensemble des solutions de linquation 2lnx– 1 > 1 est : 1 Rponse A;: ] +∞[. 2 Rponse B: ] 1 ;+∞[. Rponse C: ] e ;+∞[. 2xx 4)Dans– 3 = 0 :+ 2 e , lquation e Rponse A: admet une unique solution. Rponse B: admet exactement deux solutions. Rponse C: nadmet aucune solution.

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EXERCICE 2(5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Un collectionneur de pices de monnaie a observ que ses pices peuvent prsenter au maximum deux dfauts notsaetb. Il prlve au hasard une pice dans sa collection. On noteAlvnement : « Une pice prleve au hasard dans la collection prsente le  dfauta». On noteBlvnement : « Une pice prleve au hasard dans la collection prsente le  dfautb». On noteAetBles vnements contraires respectifs deAetB. On donne les probabilits suivantes :p(A) = 0,2 ;p(B) = 0,1 etp(AB) = 0,25. Dans cet exercice, toutes les valeurs approches des rsultats demands seront arrondies au centime. Premire partie 1)Dmontrer que la probabilit de lvnement : « une pice prleve au hasard dans la collection prsente les deux dfauts » est gale  0,05. 2)Les vnementsAetBsont-ils indpendants ? Justifier la rponse. 3)Dmontrer que la probabilit de lvnement : « une pice prleve au hasard dans la collection ne prsente aucun des deux dfauts » est gale  0,75. 4)Le collectionneur prlve au hasard une pice parmi celles qui prsentent le dfautb. Calculer la probabilit que cette pice prsente galement le dfauta. 5)Le collectionneur prlve au hasard une pice parmi celles qui ne prsentent pas le dfautb. Calculer la probabilit que cette pice prsente le dfauta. Deuxime partie On prlve au hasard trois pices dans la collection et on suppose que le nombre de pices de la collection est suffisamment grand pour considrer ces trois prlvements comme tant indpendants. 1)Calculer la probabilit quune seule des trois pices soit sans dfaut. 2)Calculer la probabilit quau moins une des trois pices soit sans dfaut.

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EXERCICE 2(5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularit dun mme groupe politique dans lopinion publique. Les personnes sondes sont, soit favorables, soit dfavorables  ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables  ce groupe politique que de personnes qui lui sont dfavorables. De chaque mois au mois suivant, on considre que :  10 % des personnes qui taient favorables  ce groupe politique ne le sont plus.  15 % des personnes qui ntaient pas favorables  ce groupe politique le deviennent. On note, pour tout entier natureln: a n , la probabilit quune personne interroge au hasard au bout denmois soit favorable   ce groupe politique. b n , la probabilit quune personne interroge au hasard au bout denmois ne soit pas  favorable  ce groupe politique. P n = (a n b n ), la matrice traduisant ltat probabiliste au bout denmois. On noteMla matrice de transition telle que, pour tout entier natureln:P n+1 =P n M. Premire partie 1)Dterminer la matriceP 0 donnant ltat probabiliste initial. 2)Dterminer le graphe probabiliste correspondant  la situation.   0,9 0,1   3)On admet queMDterminer la matrice= . P 2 en dtaillant les calculs (on  0,15 0,85  donnera les coefficients sous forme dcimale arrondie au centime). 4)Dterminer ltat stable et interprter ce rsultat. Deuxime partie 1)Montrer quea n+1 = 0,75a n + 0,15 pour tout entier natureln. 2)On considre la suite (u n ) telle queu n =a n pour tout entier naturel– 0,6 n. a)Dmontrer que la suite (u n ) est gomtrique de raison 0,75. n b)En dduire queu n pour tout entier naturel= –0,1(0,75) + 0,6 n. c)Calculer la limite dea n quandntend vers+∞. Comment peut-on interprter cette limite ? En quoi ce rsultat est-il cohrent avec celui demand  la question4)de la premire partie.

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EXERCICE 3(6 points) Commun  tous les candidats Une exploitation minire extrait un minerai rare dans ses gisements depuis lanne 1963. Le tableau suivant indique la quantit extraitey i en tonnes durant lanne dsigne par son rangx i : Anne 1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998 2003 2008 Rangx i de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lanne Quantit extraite 18,1 15,7 13,3 11 9,3 7,8 7,1 6,1 5,2 4,3 y i en tonnes Le nuage de points associ  cette srie statistique  deux variables est reprsent dans le repre orthogonal (O ; I, J) delannexe 1. Les units graphiques de ce repre sont 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonne. Dans cet exercice, on dsigne par la variableyla quantit extraite en tonnes et par la variablex le rang de lanne. Premire partie En premire approximation, on envisage de reprsenteryen tant que fonction affine dex. La droiteDdajustement affine deyenxobtenue par la mthode des moindres carrs admet pour quationy= –1,5x+ 16,5 dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixime. 1)Dterminer les coordonnes du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repre delannexe 1. 2)Tracer la droiteDdans le repre delannexe 1. 3)En considrant cet ajustement affine, quelle quantit de minerai, au dixime de tonne prs, lexploitation peut-elle prvoir dextraire durant lanne 2013 ? Deuxime partie On admet que la courbe trace enannexe 1reprsente un ajustement exponentielle deyen px fonction dexet que son quation est de la formey=ke okest un entier naturel etpun nombre rel. 1)En utilisant cette courbe, lire la quantit de minerai extrait, au dixime de tonne prs, que lajustement exponentiel laisse prvoir pendant lanne 2013. 2)En supposant que la courbe passe par les pointsA(0 ; 18) etB(3 ; 11,2), calculer lentier naturelket le relpdont on donnera une valeur approche arrondie au centime.

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Troisime partie On effectue le changement de variablez= lnyet on posez= lny i . i 1)Recopier et complter le tableau suivant en donnant une valeur approche de chaque rsultat arrondie au centime : x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 z i 2) laide de la calculatrice et en donnant une valeur approche de chaque coefficient arrondie au centime, dterminer une quation de la droite dajustement affine dezenx obtenue par la mthode des moindres carrs. px 3)En dduire lexpression deyen fonction dexsous la formey=kretrouver ainsi, ene et arrondissantkau dixime, les coefficientsketpcalculs  la question2)de la deuxime partie. ANNEXE 1 ( remettre avec la copie)

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