Bac mathematiques 2008 s

Description

[BaccalauréatSPondichéry16avril2008\EXERCICE 1 4pointsCommunàtouslescandidatsx1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x)= et soit H la fonctionxe −1Zxdéfiniesur[1; +∞[parH(x)= f(t)dt.1a. Justifierque f etH sontbiendéfiniessur[1; +∞[b. Quellerelationexiste-t-ilentreH et f ? ³ ´→− →−c. SoitC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormal O, ı , duplan.Interpréterentermesd’airelenombreH(3).2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombreH(3).−xx ea. Montrerquepourtoutréelx>0, =x× .x −xe −1 1−eZ µ ¶ µ ¶ Z3 3 ¡ ¢1 1 −xb. Endéduireque f(x)dx=3ln 1− −ln 1− − ln 1−e dx.3e e1 1µ ¶ µ ¶1 1−xc. Montrerquesi16x63,alorsln 1− 6ln(1−e )6ln 1− .3e eZ Z3 3¡ ¢−xd. Endéduireunencadrementde ln 1−e dx puisde f(x)dx.1 1EXERCICE 2 5pointsCandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéCetexercicecontientunerestitutionorganiséedeconnaissances.PartieAOnsupposeconnuslesrésultatssuivants:1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z , z et z trois pointsA B CA, B etC.¯ ¯ µ ¶ ³ ´¯ ¯z −z CB z −z −→ −→B C B C¯ ¯Alors = etarg = CA, CB (2π).¯ ¯z −z CA z −zA C A C2. Soitz unnombrecomplexeetsoitθunréel:iθz=e sietseulementsi|z|=1etarg(z)=θ+2kπ,oùk estunentierrelatif.Démonstrationdecours:démontrerquelarotationr d’angleαetdecentreΩd’af-′fixeωestlatransformationduplanquiàtoutpoint M d’affixez associelepoint M′d’affixez telque′ iαz −ω=e (z−ω).PartieB ³ ´→− →−Dansunrepèreorthonorrnaldirectduplancomplexe O, u , v d’unitégraphique2cm ...

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• bac

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Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008\

E X E R C IC E 1 Commun à tous les candidats

4 points

x 1.Soitfla fonction définie sur [1 ;+∞[ parf(x)=et soitHla fonction x e−1 Z x définie sur [1 ;+∞[ parH(x)=f(t) dt. 1 a.Justifier quefetHsont bien définies sur [1 ;+∞[ b.Quelle relation existetil entreHetf? ³ ´ −→−→ c.SoitCla courbe représentative defdans un repère orthonormalO,ı, du plan. Interpréter en termes d’aire le nombreH(3). 2.On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3). −x xe a.Montrer que pour tout réelx>0,=x×. x−x e−1 1−e Z µ¶ µ¶ Z 3 3 1 1 ¡ ¢ −x b.En déduire quef(x) dx=3 ln1− −ln 1− −ln 1−e dx. 3 1 e e 1 µ ¶µ ¶ 1 1 −x c.Montrer que si 1 6 x 6 13, alors ln− 6 ln (1−e ) 6 ln 1−. 3 e e Z Z 3 3 ¡ ¢ −x d.ln 1En déduire un encadrement de−e dxpuis def(x) dx. 1 1

E X E R C IC E 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A On suppose connus les résultats suivants :

5 points

1.Dans le plan complexe, on donne par leurs affixesz A ,z B etz C trois points A,BetC. µ ¶ ³ ´ z B −z C C Bz B −z C −→−→− Alors=et arg=C A,C B(2π). ¯ ¯ z A −z C zC A A −z C 2.Soitzun nombre complexe et soitθun réel : iθ z=et seulement sie si|z| =1 et arg(z)=θ+2kπ, oùkest un entier relatif. Démonstration de cours: démontrer que la rotationrd’angleαet de centreΩd’af ′ fixeωest la transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le pointM ′ d’affixeztel que ′iα z−ω=e (z−ω).

Partie B ³ ´ −→−→ Dans un repère orthonorrnal direct du plan complexeO,u,vd’unité graphique 2 cm, on considère les pointsA,B,CetDd’affixes respectives p z A = −3−i,z B =1−i 3,z C =3+i etz D = −1+i 3. 1. a.esDonner le module et un argument pour, chacun des quatre nombr complexesz A ,z B ,z C etz D .