Bac mathematiques specialite 2006 s

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Durée:4heures[BaccalauréatSLaRéunion15juin2006\EXERCICE 1 4pointsCommunàtouslescandidatsPartieASoit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]1; +∞[parxf(x)=lnx1. a. Déterminerleslimitesdelafonction f en1eten+∞.b. Étudierlesvariationsdelafonction f.2. Soit(u )lasuitedéfinieparu =5etu = f (u )pourtoutentiernatureln.n 0 n+1 na. OnatracélacourbereprésentativeC delafonction f surlafiguredon-néeenannexequiserarendueaveclacopie.Construireladroited’équa-tion y=x et les points M et M dela courbeC d’abscisses respectives1 2u etu .Proposeruneconjecturesurlecomportementdelasuite(u ).1 2 nb. Démontrerquepourtoutentiernatureln,onau >e(onpourrautilisernlaquestion1.b.).c. Démontrerquelasuite(u )convergeversunréelℓdel’intervalle[e ;+∞[.nPartieBOnrappellequelafonction f estcontinuesurl’intervalle]1; +∞[.¡ ¢1. En étudiant de deux manières la limite de la suite f (u ) , démontrer quenf(ℓ)=ℓ.2. Endéduirelavaleurdeℓ.EXERCICE 2 6pointsCommunàtouslescandidatsPremièrepartie Z1xCalculerl’intégrale xe dx.0DeuxièmepartieLa figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le re-³ ´−→ −→père orthonormal O; OI, OJ , la ligne courbeC reliant le point O au point M estxunepartiedelacourbereprésentativedelafonction f définiesurRpar f(x)=xe .CettecourbepartagelacibleOIMNendeuxpartiesAetBcommel’indiquelafigureci-dessous.Unjeuconsisteàlancerunefléchettequiatteintsoitl’extérieurdelacible,soitl’unedespartiesAouB ...

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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S La Réunion 15 juin 2006\

E X E R C IC E 1 Commun à tous les candidats

4 points

Partie A Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par x f(x)= lnx 1. a.Déterminer les limites de la fonctionfen 1 et en+∞. b.Étudier les variations de la fonctionf. 2.Soit (u n ) la suite définie paru 0 =5 etu n+1 =f ( u n ) pour tout entier natureln. a.On a tracé la courbe représentativeCde la fonctionfsur la figure don née en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équa tiony=xet les pointsM 1 etM 2 de la courbeCd’abscisses respectives u 1 etu 2 . Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (u n ). b.Démontrer que pour tout entier natureln, on au n > e (on pourra utiliser la question 1. b.). c.Démontrer que la suite (u n ) converge vers un réelℓ;de l’intervalle [e+∞[.

Partie B On rappelle que la fonctionfest continue sur l’intervalle ]1 ;+∞[. ¡ ¢ 1.En étudiant de deux manières la limite de la suitef ( u n ) , démontrer que f(ℓ)=ℓ. 2.En déduire la valeur deℓ.

E X E R C IC E 2 Commun à tous les candidats

Première partie Z 1 x Calculer l’intégralexe dx. 0

6 points

Deuxième partie La figure cidessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le re ³ ´ −→−→ père orthonormalO ; OI , OJ, la ligne courbeCreliant le point O au point M est x une partie de la courbe représentative de la fonctionfdéfinie surRparf(x)=xe . Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure cidessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbeC.