Bac S – Mathématiques (spécialité) – Cours complet !
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ARITHMETIQUE Propriétés fondamentales des ensembles d’entiers naturels: Propriété 1 : Toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturels admet un plus petit élément. Propriété 2 : Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément. I. Relation de divisibilité. 1- Définition et premières propriétés. a, b et c désignent des entiers relatifs. Définition 1 : On dit que b divise a ou que a est divisible par b s’il existe un entier k tel que a = b k. On note b | a. Si b divise a, on dit que b est un diviseur de a, et que a est un multiple de b. Propriétés immédiates : 3. Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0. 4. Si b | a , alors – b | a. 5. Si b | a et si a 0, alors | b | | a |. On en déduit que le nombre de diviseurs d’un entier est fini. 6. Si a | b et b | a , alors | a | = | b |. 7. Si a | b et b | c , alors a | c (on dit que la relation de divisibilité est transitive). 8. Si a | b et a | c, alors a | (ub + vc) où u et v désignent des entiers tels que ub + vc 0 (on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c). On a en particulier que a | (b + c) et a | (b – c) . 9. Si a | b, alors pour tout entier c, ac | bc. Démonstration : - 3. On a : 0 = 0 × b. - 4. Si b | a , il existe un entier k tel que a = bk, alors a = -b (-k), donc – b | a. - 5. Si b | a alors il existe un entier naturel k tel que : | a | = | b | k.
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ARITHMETIQUE
Propriétés fondamentales des ensembles d’entiers naturels: Propriété 1 :Toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturelsadmet un plus petit élément.Propriété 2 :Toute partie non vide et majorée deadmet un plus grand élément.
I. Relation de divisibilité.
1- Définition et premières propriétés. a, b et c désignent des entiers relatifs. Définition 1 : On dit queb divise aou quea est divisible par bs’il existe un entier k tel quea = b k. On note b|b divise a, on dit que b est una. Sidiviseurde a, et que a est unmultiplede b. Propriétés immédiates : 3.Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0.4.Si b|alors –ba ,|a. 5.Si b|a et sia 0,alors|b|£|a|.On en déduit que le nombre de diviseurs d’un entier est fini.6.| bSi a| a , alorset b|a|=|b|. 7.Si a|b et b|ac , alors|dit que la relation de divisibilité est transitive).c (on 8.Si a|b et a|ac, alors|0où u et v désignent des entiers tels que ub + vc(ub + vc) (on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c). On a en particulier quea|et a(b + c)|(b – c) . 9.Si a|acb, alors pour tout entier c,|bc.Démonstration : -3. On a : 0 = 0 × b. -4. Si b|il existe un entier k tel que a = bk, alors a = -b (-k), donc – ba , |a. -5. Sib|a alorsil existe un entier naturel k tel que : | a | = | b | k. Comme a≠0, k≥1 donc|b|£|a|.-| a , alors d’après la propriété 4,| a |6. Siet ba | b³| b |³ | a | , donc | a | = | b |. -a7. Si|b et b|et c= k’b.il existe deux entiers k et k’ tels que b = kac , alors D’où c= kk’adonc a|c. -8. Sia|b et a|= k’a.et cc, alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka On a donc :ub + vc = (uk + vk’) a, donca|(ub + vc).-9. Sia|b, alors il existe un entier k tel que b = ak, donc cb = cakdonc ac|bc.
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2- Nombres premiers. Définition 2: On dit qu’un entier naturel est unnombre premier s’iladmet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2,3, 5, 7 sontdes nombres premiers. Théorème 1 :Théorème des diviseurs premiersSoit n, n≥2. Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur premier p tel quep£n. Démonstration: -Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur différent de 1 et de lui-même. Dans l’ensemble des diviseurs positifs de n différents de 1 et de lui-même, noté D, on applique la propriété 1. Soit p le plus petit élément de D. p est forcément premier, sinon il admettrait un diviseur positif différent de lui-même et de 1 qui serait alors dans D, inférieur strictement à p, ce qui contredit la définition de p. p divise n, donc il existe un entier q tel que n = pq. q est un diviseur positif de n, il est dans D donc, par définition de p,p£ q. On en déduit que : p²£ pq = n. Remarque : si n est premier il admet exactement un diviseur premier : lui-même. Technique pour déterminer si un nombre est premier : (test de primalité) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. D’après le théorème des diviseurs premiers, si n n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée, on peut affirmer que n est premier. Remarque : pour des nombres « petits », on peut utiliser lecrible d’Eratosthènequi consiste à barrer progressivement les nombres qui ne sont pas premiers dans la liste des premiers entiers naturels.Théorème 2: Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique sous la forme a aa 1 23 n pp p ...pdistincts, et 13 i1 2, où p1, p2, p3, …, pides nombres premiers deux à deux sont 1,a2,a3,...,aides entiers naturels non nuls. Démonstration :-Existence :d’après le théorème 1, il existe un nombre premier p1un entier naturel n et1 tels que n = p1n1 avecn1car p< n1> 1. Si n1= 1 ou si n1est premier, on a le résultat attendu ; Sinon n1³ 2, donc d’après le théorème 1, il existe un nombre premier p2et un entier naturel n2tels que n1= p2n2 et 1£n2< n1< n. On réitère ce procédé ; à chaque étape on a l’existence d’un nombre premier pk+1et d’un entier naturel nk+1tels que :nk= pk+1nk+1avec 1£nk+1£nk. La suite (nk) est une suite d’entiers naturels, strictement décroissante tant que nk¹donc il 1, existe un entier naturel j tel que nj= 1. On a : n = p1p2… pj. -Unicité : elle découle du théorème de Gauss que l’on verra plus loin.
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