Baccalaureat 1999 mathematiques s.t.i (genie des materiaux)

8 0 4 30 9 100 0 10 2 1 6 3 2 5 4 X 25 100 2 X 6 X 6 20 4 y 3 y 1 f 6 f 2 G + (0 5 ; 3 p 1 3) 8 G 4 6 7 5 98/99 Baccalauréat 99 18/06 a3.tex 1/ 2 Durée 4 heures ; coefficient 4 ; barème 5 + 5 + 10 Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu’il est complet, que toutes les pages sont im primées. L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l’ap préciation des copies. Le formulaire de mathématiques est joint au sujet. Ce sujet comporte 2 pages. Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire suivante : Une première urne contient cinq boules numérotées , , , , . Une deuxième urne cinq boules numérotées , , , , . On appelle « partie » le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Une partie a donc résultats possibles supposés équiprobables. 1. (a) Recopier, puis compléter le tableau donnant la somme des deux nombres obtenus pour cha cun des résultats possibles. (b) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme égale à ? (c) Quelle est la pr pour une partie une paire? (d) Quelle est la probabilité d’obtenir pour une partie une somme au plus égale à ? 2. On considère le jeu suivant associé à chaque partie. Un joueur gagne : francs si la somme est paire ; francs si la est treize ; francs si la somme est , ou ; et ne gagne rien dans les autres cas. On appelle la variable aléatoire qui à chaque partie associe son gain en francs. (a) Calculer la probabilité de gagner francs. (b) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire . (c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire . (d) L’organisateur demande francs pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est il équitable? Exercice 2 On donne l’équation différentielle : "+ 3 6 =0 . 1. Donner la forme des solutions de cette équation différentielle. 2. Déterminer la fonction solution de cette équation différentielle satisfaisant aux conditions sui vantes : – la courbe représentative de passe par le point de coordonnées ; – la droite tangente à cette courbe au point a pour coefficient directeur .0 ) ( 2 ( 2 ) cm T ) 0 A x ( f x (0 x ) ) ) C ) ( x ) 10 x = A ) f f ( ! x ) ( ; R j f 2 F (  ( 6 x x f + e  10) 3 x  x x x 2 ( e x  1 4 D 1 ( x ; f 0 2 C 1 (0  ! x !  ) 6 ( ] B ( C g f R f g x ) x f C C 1 ( x R 2 ) f T x f x ( e x
( e ) (20 10 ) x ( e f 2 x x f D x ( + ( 0 C ) ) ( ) ( j ! 98/99 Baccalauréat 99 18/06 a3.tex 2/ 2 3. Vérifier que pour tout réel : )=2 s n i . 4. Calculer la valeur moyenne de sur l’intervalle [0 ; . Problème Soit la fonction définie sur par : )= 2 . Soit sa courbe représentative dans un repère orthonormal i; (unité graphique cm). 1. Calculer la limite de lorsque tend vers . 2. (a) Vérifier que )= 2 . (b) Calculer la limite de lorsque tend vers . (c) En déduire que la courbe admet une asymptote dont on précisera une équation. 3. (a) Démontrer que la fonction dérivée de est définie pour tout réel par : . (b) Étudier pour tout réel le signe de , puis établir le tableau de variation de . (c) En déduire que la courbe admet une tangente horizontale en un point dont on précisera les coordonnées. 4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse . 5. Tracer dans le même repère i; l’asymptote , la tangente et la courbe . 6. On note la fonction définie sur par : )= (a) Déterminer sa fonction dérivée. (b) En déduire une primitive de sur . 7. (a) Hachurer sur la représentation graphique le domaine du plan limité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations : =0 , =3 . (b) Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine exprimée en , puis en donner une valeur décimale approchée à 1m m près.E 25 E x X 6 1 cos 25 B 25 x 13) 6 30 sin p A ; 6 25 = 6 0 100 y P B 25 A X x p 6 8 sin 100 + francs 0 ( 2 = 4 0 6 ( 8 = 1 + 1 P 3 100) 5 S 7 1 9 X 2 25 2 x 4 10 6 10 8 6 10 x 3 300 3 i 5 20 7 40 9 P 11 S 4 460 4 10 6 25 8 + 10 P 12 S 5 6) 5 11 7 60 9 25 11 + 13 ( B = + = x ( 6 = cos = A 25 = 300 y ( ! X 25 0 y 25 2 i ! 100 y 0 francs 60 60 25 P 25 ( 25 S 25 ; i 1 i X 25 3 25 25 ( 98/99 Corrigé abrégé 18/06 a3s.tex 1/ 4 Exercice 1 1. (a) Le tableau complété est le suivant : (b) Il vient donc, d’après le tableau, puisque les résultats sont supposés équiprobables : =7 ) = (c) De la même façon : paire )= (d) Et enfin : 2. (a) On a : (b) Loi de probabilité de la variable : (c) Et donc, l’espérance de la variable est : )= =1 8 (d) À francs la partie, le jeu ne serait pas équitable, puisque l’espérance de gain du joueur serait négative : )= Exercice 2 1. Cette équation est de la forme "+ =0 avec =6 ; donc les solutions sont : où et sont deux réels quelconques. De plus, +6 .x 6 x x 1 x  2 6 e  x  10 6 !  x sin y " = 6 f D ( 2 x
e 6 A 6 cos 3 6 2 x  +  B 3 sin 1 6 2 x 3 x 2
= x Z e x 10 6 +  C  f  1 3 x  (  f  8 ) <  :  lim 2 T x G + x sin ! = + 6 1 x 1 p x = 2 + e 6 !1 = x  lim (form 1 m  6 f 6 (0)  =  p = 3
= 6 A  cos  0  = = p cos 3 + f i 0 = x cos 10  !1  x = 6 1 B x cos = 0 sin = 6 6 + lim 3 A = = h p 6 3 cos ( 3 B cos 10 x 1  e i !1 2 x sin lim x x 2 lim cos R x 2 3 y # = sin f x ( p x cos x x p 2 3  cos 1 6 y x ulaire) + 0 sin V 6 = x  x 0 x  2 0 f sin ( 6 x + e 3 x dx 10  !   2 6 1 x
+ cos  6 3 +  3 +  x  ( 0 f 2 sin( h a  + x b  )  =  sin 0 a 2 cos h b  + + cos 3 a cos sin  b i 1 2 x  e 2 f lim ( + 98/99 Corrigé abrégé 18/06 a3s.tex 2/ 4 2. Déterminons )= de telle sorte que la courbe passe par G et que la tangente ait pour coefficient directeur 6 ; il faut donc : donc )=6 ( 0 donc donc et =1 ; la solution cherchée est donc : )= 3. Vérifions que )=2 s i n . Utilisons la formule ; donc : C’est ce qu’il fallait démontrer. 4. Calculons la valeur moyenne : Problème On a : )= 2 pour . 1. =+ car =+ 2. (a) En développant, on a bien )= 2 =2 . =0 (b) Donc =2 car (c) Donc la droite d’équation =2 est asymptote horizontale à la courbe (C).; ( f x e 10 20 = x 2 f + 10 0) 2 x 10 10( C = + y + ) & T 1 f 2 0 e (  x 10 ) = = x 0 2 10 1 ( f 2 ) x 1 + x x 2 ( f 10 e 2 2 x 2 ) 2
0 =  10 0 e x 2
x 2 2 (0) x A e ) 2 ( x A
1 = 2 10(1 1 2 0 x x = 0 2 + x 2 = ( (20 ) x % 10) 5 e  2  x 2 0 5 e 1 10) e 0 1 f 2 f 1 0 5 (  x ; ) 1 0 B e
98/99 Corrigé abrégé 18/06 a3s.tex 3/ 4 3. (a) Calculons la dérivée : 1e 2e )e (b) Donc le signe de est le signe de car l’exponentielle est positive. Donc le tableau de variation est le suivant : Car =2 =2 5e =2 (c) Donc la courbe admet un extrémum au point ; en ce point, il y a une tangente horizontale. 4. Soit dont l’abscisse =0 ; calculons : =2 ( )=( 0 0 Donc la tangente a pour équation : +2 5. La courbe (C), avec l’asymptote (D) et la tangente (T) := 2 = 2 + mm x 1417 A 2 x cm 2 17 1 ; e 14  2 0 cm  g 6 ( ( x g :::   2 1 + 2 6 x  1 A 4 A  )d e x 2 4 x 7 1735 2 ; 7 14 ) g 10 0 x ( x x 2 )  = =   1 2 2 x  2 e 2 2 6 x 1 + =  0 1 Z 2 ( x = 1  4 1  2  2 
2 = x e  35 = 2  F 1 x 2 = + x  ( 1 ( 2 )) x 2 1 10 4 1  x ( = 2) e  x e 2 2 2 x x = 1   1 2 2 5 + e x 35 +  1 5 2   e e 2 2  x  = ( x ) e 3 2 = x 3  f 6 x e x 5  f x (  x +  2 2 e 10 x x e 98/99 Corrigé abrégé 18/06 a3s.tex 4/ 4 6. (a) On a )= . Calculons : 2e (b) Puisque l’on a )= 2 , la primitive cherchée est donc : +5 7. (a) Voir sur la figure, la zone hachurée. (b) L’aire cherchée du domaine est : +5 6+5 3+ 0+ 6+ 1+ unités d’aire Donc la valeur cherchée est ou .