Baccalaureat 1999 mathematiques s.t.i (genie optique)

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F Z 3 C 3 ! s 50 v = C R F = 1 1 F 100 u; r s ad:s e 1 X Z 2 = Z 1 e 2 F  2 B = 1 (0; i 500 B 100 2 e Z e B s 3 R Z 3 1 1 Z 2 s F Z s e 1 z B s Z  2 i B F Z 1 3 2 B F Z 2 ~ Z Z F ~ 3 ) e M Z M e s = Z 150( Z p Z i F ! ) X ! 1 C B iR F Z B 1 F = B Z e i 98/99 Baccalauréat STI GEL GET 21/06 a1.tex 1/ 2 Exercice 1 Un moteur électrique possédant trois bornes , et doit être alimenté en électricité par trois fils , et , chaque fil étant relié à une seule borne identifiée. Lorsque les trois fils sont convenablement branchés ( avec , avec , avec ), le moteur tourne à tours par minute. Lorsqu’aucun fil n’est branché à la bonne borne, le moteur ne tourne pas. 1. Déterminer la liste des montages différents possibles et en déduire leur nombre total (exemple : avec , avec , avec est l’un des montages possibles) 2. Calculer la probabilité que les trois fils soient convenablement branchés. 3. Calculer la probabilité qu’un seul des trois fils soit branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés). 4. On considère la variable aléatoire qui, à chaque montage, associe la vitesse de rotation du mo teur. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire . Exercice 2 Un quadripôle est constitué d’un résistor de résistance exprimée en et d’un condensateur de capacité exprimée en . On associe respectivement à la tension d’entrée et à la tension de sortie les nombres complexes et . On appelle transmittance le nombre complexe défini par : . On admet que où désigne la pulsation exprimée en radians par seconde et 1+ désigne le nombre complexe de module et d’argument . Dans tout cet exercice, on suppose que , =2 et . 1. Vérifier que ; écrire le nombre complexe sous forme algébrique puis déterminer le 1+ module et un argument de . 2. Le module de peut il être le double de celui de ? Justifier la réponse fournie. 3. Dans cette question seulement, on suppose qu’un argument de est ; déterminer alors un ar- gument de . 4. On suppose dans cette question que 3+ . (a) Déterminer l’écriture du nombre complexe sous la forme re . (b) la forme exponentielle du nombre complexe correspondant. (c) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal de telle manière qu’un cen timètre représente unités. Placer les points et images respectives des nombres complexes et .C g C C C E 2 C 2 D f I ~ C x D ) x = 2 2 1 ( = + y ) (0; ) ~ 0 I x { ( | I ]0; x + 1 1 g [ x ) x D + D x C g h f I ~ I ( g x h I f f ( + x 1 1 1 I D 2 h x I g D ( x x e ln 2 x 2 2 x x ) x ( ln g x 0 x 0 I 1 x I u 1 f f g (1) 0 0 0 2 ( | x {; ) g  x g (0; u f ) I g f 0 f ( x x ln ) f x 2 ( x 0 I f x ( x x 98/99 Baccalauréat STI GEL GET 21/06 a1.tex 2/ 2 Problème Dans tout le problème , désigne l’intervalle . PARTIE A Soit la fonction définie sur l’intervalle par : )= +3 2l n . 1. (a) On note la dérivée de la fonction ; calculer et étudier son signe, pour appartenant à l’intervalle . (b) Dresser le tableau de variations de la fonction . Les limites de la fonction en et en ne sont pas demandées. 2. Calculer , en déduire le signe de pour appartenant à l’intervalle . PARTIE B 1. Soit la fonction définie sur l’intervalle par : )= . On note la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle et la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d’unités graphiques cm. 2. (a) Étudier la limite de en et en déduire l’existence d’une asymptote à la courbe . (b) la limite de en . 3. (a) Montrer que, pour tout nombre réel de l’intervalle , )= . (b) Déduire de la partie A le signe de puis le sens de variation de sur l’intervalle . (c) Établir le tableau de variations de la fonction sur l’intervalle . 4. Soit la droite d’équation : . (a) Montrer que la droite est asymptote à la courbe . (b) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de la courbe et de la droite . (c) Sur l’intervalle , déterminer la position de la courbe par rapport à la droite . 5. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin dans le même repère ;~ la droite et la courbe . PARTIE C 1. On considère la fonction définie sur l’intervalle par : )= . En remarquant que est de la forme , déterminer une primitive de la fonction sur l’intervalle . 2. Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les deux droites d’équations =1 et . Calculer l’aire exprimée en cm , de cette partie hachurée.2 s 1 2 e 2 2 p Z = Z  0 sin j 2 j 2 j p + = 2 2  p 2 1 1 = = 2 ) 2 Z p 2 2 r p 1 1 ) = =  = cos i : j f  F  1 j B 1 1 1 ; j F i 2 X B 1 2 p ; Z F 2 3 = B 4 3 j g i f 1 F 1 1 )(1 B i 1  ; 6 F 1 3 50 B 1 2 Z ; 2 F 6 2 s B