Baccalaureat 2000 genie mecanique, electronique, electrique et arts appliques s.t.i (genie mecanique)

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BaccalauréatSTI2000 L’intégraledeseptembre1999àjuin 2000 Antilles–GuyaneGénieciviljuin2000 .................3 AntillesGénieélectroniquejuin2000 .................6 FranceGéniemécaniquejuin2000 ...................9 FranceGénieénergétiquejuin2000 .................11 FranceGénieélectroniquejuin2000 ................15L’intégrale2000 2
BaccalauréatSTIAntillesjuin2000 Géniecivil,énergétique,mécanique(AetF) Durée:4heures Coefficient:4 EXERCICE1 4points Chacundes150élèvesdesclassesdeterminalesSTId’unlycéeayanteffectuéun stageenentreprisearédigéunrapportdestage. Pourrendrecerapportdestagelepluslisibleetleplusattractifpossible: • 115élèvesontutiliséuntraitementdetextes; • 100ontutiliséuntableur; • 75élèvesontutiliséàlafoisuntraitementdetextesetuntableur. 1. Reproduireetcompléterletableausuivant: ayantutiliséun n’ayantpasutilisé Nombred’élèves traitement untraitementde Total detextes textes ayantutiliséuntableur 75 100 n’ayantpasutilisé detableur Total 115 150 2. Un professeur étudie un des150 rapports destage,choisi au hasard.Onsup- pose que chaque rapport de stage a la même probabilité d’être ainsi choisi. Calculerlaprobabilitédechacundesévénementssuivants A:«l’élèveayantrédigécerapportdestagen’apasutilisédetableur»; B : «l’élève ayant rédigé ce rapport de stage a utilisé un traitement de textes maispasdetableur»; C : «l’élève ayant rédigé ce rapport de stage n’a utilisé ni un traitement de textes,niuntableur». EXERCICE2 5points
 →− →− Leplanestrapportéàunrepèreorthonormal O, u , v d’unité 1cm. π 2idésignelenombrecomplexedemodule1etd’argument ;onrappellequei =−1. 2    On considère les points A(4; 0) et C −2 3;−2 d’affixes respectives z =4etz =A C  −2 3−2i,etlesBetDd’affixesrespectives z =iz et z =iz .B A D C 1. a. Calculerlesmodulesdesnombrescomplexes z et z .A C b. Endéduirelesmodulesdesnombrescomplexes z et z .B D c. Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on préciseralecentreetlerayon. 2. a. Montrer que les coordonnées de B et D sont respectivement (0; 4) et    2;−2 3 .
 →− →− b. PlacerlespointsA,B,CetDdanslerepère O, u , v . 3. a. Montrerquelesdroites(AD)et(BC)sontparallèles. b. MontrerquelesdiagonalesduquadrilatèreABCDsontperpendiculaires. PROBLÈME 11pointsBaccalauréatSTIGéniecivil,énergétique,mécanique(AetF) L’intégrale2000 Lebutduproblèmeestd’étudierla position relatived’unecourbeetd’unetan- genteàcettecourbeenunpoint,etdecalculerl’aired’undomaineplan.
 →− →− Leplanestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı ,  d’unitésgraphiques2cm. Surlafigureci-aprèsaététracéelacourbereprésentativeC delafonction f,définie pourtoutréel x del’intervalle]0;6]par: x+2 f(x)= +lnx. x PartieA-Étudedelafonctionf Soit f lafonctiondéfiniesur]0;6]par: x+2 f(x)= +lnx. x 1. Calculerlalimitede f enzéro.Onpourramettre f(x)souslaforme: x+2+xlnx f(x)= . x 2. Calculer(1), f(2), f(e), f(4)et f(6). 3. a. Vérifierque,pourtoutx dansl’intervalle]0;6],ona: x−2 f (x)= . 2x b. Endéduirelesignede f (x)sur]0;6]. c. Établirletableaudevariationsde f sur]0;6]. PartieB-Positiondelacourbeparrapportàunetangente 1. Montrerqu’uneéquationdelatangenteTàlacourbeC aupointAd’abscisse 4est: x y = +1+ln4. 8 2. Onconsidèrelafonction g définiesur]0;6]par:   x g(x)= f(x)− +1+ln4 . 8 2 x a. Vérifierquepourtout x de]0;6]: g(x)=lnx−ln4+ − . x 8 2 −x +8x−16 b. Montrerquepourtout x de]0;6]: g (x)= . 28x c. Déterminerlesignede g (x)sur]0;6]. d. Préciserlesensdevariationdeg sur]0;6](onnedemandepasleslimites auxbornesdudomainededéfinition). e. Calculer g(4)etendéduirelesignede g sur]0;6]. 3. EndéduirelapositionrelativedeC etT.
 →− →− 4. TracerladroiteTdanslerepère O, ı ,  delafigure. Antilles 4 juin2000BaccalauréatSTIGéniecivil,énergétique,mécanique(AetF) L’intégrale2000 PartieC-Calculd’uneaire 1. Soitlafonction H définiesur]0;6]par: H(x)=(2+x)lnx. Calculer H (x). 2. OnconsidèrelapartieduplancompriseentrelacourbeC,l’axedesabscisses 2etlesdroitesd’équation x =1etx =e.OnappelleA l’aire, exprimée en cm , decettepartieduplan. a. Hachurercettepartiesurlafigure. −2b. DonnerlavaleurexactedeA puis sa valeur approchée à 10 près par défaut. 6 5 4 3 2 1 →−  0 →−-1 O 0 1 2 3 4 5 6ı Antilles 5 juin2000
BaccalauréatSTIAntillesjuin2000 Génieélectronique,électrotechnique,optique Durée:4heures Coefficient:4 EXERCICE1 4points π Onnoteilenombrecomplexedemodule1etdontunargumentest . 2   Soientlesnombrescomplexes z et z telsque z = 2+i 6etz =2−2i.1 2 1 2 1. a. Calculer le module et un argument de chacun des deux nombres com- plexes z et z .1 2 z1 iθb. Écrirele quotient sous la forme re où r est un nombre réel stricte- z2 mentpositifetθunnombreréel.
 →− →− 2. P est le plan muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité gra- phique 2 cm dans lequel les points M et M sont les points d’affixes respec-1 2 tives z et z .1 2 Dansceplan a. placerlespointsM etM ;1 2 b. montrerqu’ilexisteunerotationdecentreOquitransformeM enM .2 1 Donnerunemesure,enradian,del’angledecetterotation. 3. a. Enutilisantlesformesalgébriquesde z etde z donnéesdansl’énoncé,1 2 z1 écrirelequotient sousformealgébrique. z2     7π 7π b. Déduiredesrésultatsprécédentslesvaleursexactesdecos etsin . 12 12 EXERCICE2 4points 1. a. Résoudre l’équation différentielle y + y =0, où y désigne une fonction définie et deux fois dérivable surR et où y désigne la fonction dérivée secondedelafonction y. b. Déterminerlasolutionparticulière f decetteéquationdifférentiellevé-   π  rifiant f(0)=1etf =0.(f désignelafonctiondérivéedelafonction 4 f.)
 →− →− →− 2. L’espace est munid’un repèreorthonormal O, ı ,  , k d’unité graphique 4cm. Lebutdecettequestion estdecalculerlevolume Vengendréparlarotation, autourdel’axedesabscisses,dudomaineDhachurésurledessinci-dessous: →−  D π π →−O ı4 2  BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2000
 →− →− Dansleplanrapportéaurepère O, ı ,  ledomaineDestlimitépar: • lacourbereprésentativedelafonction f trouvéeàlaquestionprécédente; • l’axedesabscisses; • l’axedesordonnées; • ladroiteparallèleàl’axedesordonnéespassantparlepointdecoordonnées   π ;0. 2 a. Montrerque,pourtout x réel: 2[f(x)] =1+sin(2x). b. Sachantque: π 2 2 V=π [f(x)] dx, 0 calculerlavaleurexactedeVenunitédevolume. 3 3c. DonnerlavaleurdeVarrondieaumm .(Exprimerlerésultatencm .) PROBLÈME 12points Dansceproblème: • Idésignel’intervalle]0; +∞[; • f désignelafonctiondéfinie,pourtout x del’intervalle]0; +∞[par: 2xe f(x)= ; xe −1 • f’désignelafonctiondérivéedelafonction f ; • C désigne la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à unf repèreorthogonal(Ox,Oy)d’unitésgraphiques4cmsurl’axedesabscisseset1cm surl’axedesordonnées. PartieA 1. a. Vérifierque,pourtoutx del’intervalleI: 1 xf(x)=e +1+ . xe −1 b. Déterminer la limite de f(x)quandx tend vers +∞, et la limite de f(x) quand x tendvers0. Endéduirel’existenced’uneasymptoteàlacourbeC .f 2. a. Vérifierque,pourtoutx del’intervalleI: 2x xe e −2( ) f (x)= . 2x(e −1) b. Étudier,pourtout x del’intervalleI,lesignede f (x). En déduire le sens de variations de la fonction f et que, pour tout x de l’intervalleI, f(x)>0. 9 3. a. Résoudre,dansl’intervalle I,l’équation,d’inconnue x, f(x)= . 2 Antilles 7 juin2000BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2000 b. Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les coordonnées des points A et B, points d’intersection de la courbeC et de la droitef 9 dontuneéquationest y = . 2 (Aestlepointd’intersectiondontl’abscisseestlapluspetite.) PartieB Soitlafonction g définie,pourtout x del’intervalleI,par: x g(x)=e +1. OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction g dansleplanrapportéaurepèreg (Ox,Oy). C estdonnéesurlegraphiqueci-après.g Onnote h lafonctiondéfinie,pourtout x del’intervalleI,par: h(x)= f(x)−g(x). 1. a. Étudier,pourtout x del’intervalle I,lesignede h(x);endéduirelaposi- tiondelacourbeC ,parrapportàlacourbeC .f g b. Résoudredansl’intervalleI,l’inéquation,d’inconnue x, h(x)
0,05. Onadmetquedeuxpointsduplandemêmeabscissesontindiscernables sur un dessin dès que la différence deleurs ordonnées a une valeur ab- solueinférieureà0,05. Déterminer un demi-plan dans lequel les courbesC etC sont indis-gf cernables. c. Tracer, avec soin, la courbeC surlegraphiqueci-après.f 2. Montrerque,pourtout x deI: xe h(x)= −1; xe −1 endéduireunefonctionprimitivede h surI. 3. Calculer l’aireSdela partieduplandélimitée parlacourbeC ,lacourbeCgf etlesdroitesd’équationsrespectives x =ln2et x=ln3. 2(Exprimerlerésultatencm .) Cgy 5 xO-1 012 Antilles 8 juin2000
BaccalauréatSTIFrancejuin2000 Géniemécanique(B,C,D,E),desmatériaux Durée:4heures Coefficient:4 EXERCICE1 5points 1. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équationsuivante: 2z −2z+4=0. On appellera z la solution dont la partie imaginaire est positive et z l’autre1 2 solution.
 →− →− 2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O, u , v d’unité graphique2cm. Onappelle A ,A etA lespointsd’affixesrespectives0 1 2    z =3+i 3;z =1+i 3;z =1−i 3.0 1 2 a. PlacerlespointsA ,A etA dansleplancomplexe.0 1 2 b. DémontrerqueletriangleAA A estrectangle.0 1 2 c. EndéduirelecentreetlerayonducercleΓpassantparA ,A etA .0 1 2 EXERCICE2 5points PourimiterlaFrançaisedesjeux,unparticuliercréeunjeudeloterieinstantanée pourlequel500ticketsontétéimprimés. Lesticketsgagnantsserépartissentdelamanièresuivante: Nombredetickets Sommeenfrancsgagnéeparcestickets 1 1000 4 200 5 100 90 10 1. Calculerlaprobabilitéqu’untickettiréauhasardsoitunticketgagnant. 2. Leprixdeventeduticketestde10francs. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque ticket, associe son gain (en tenantcomptedes10francsd’achat:àchaqueticketgagnant100F, X associe ainsi90F). a. Déterminertouteslesvaleursprisespar X. b. Calculerlaprobabilitédel’évènement X =−10. c. Déterminerlaloideprobabilitéassociéeà X. d. Calculeretinterpréterl’espérancede X. PROBLÈME 10points PartieA-Étuded’unefonctionauxiliaireBaccalauréatSTIGéniemécanique(B,C,D,E),desmatériaux L’intégrale2000 Soit g lafonctionnumériquedelavariableréellexdéfiniesur]1; +∞[par x−1 g(x)=1− . xe 1.