Baccalaureat 2000 mathematiques specialite scientifique antilles

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BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2000 Exercice1 4points Ungroupedevingt-deuxpersonnesdécided’alleraucinémadeuxsamedisdesuite pourvoirdeuxfilmsAetB. Lepremiersamedi,huitpersonnesvontvoirlefilmA,etlesautresvontvoirlefimB. Ledeuxièmesamedi,quatrepersonnesdécidentderevoirlefimA,deuxvontrevoir lefilmB,etlesautresvontvoirlefilmqu’ellesn’ontpasvulasemaineprécédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considèrelesévènements suivants: A «lapersonneinterrogéeavulefilmAlepremiersamedi»;1 A «laperinterrogéeavulefilmAledeuxièmesamedi»;2 B «lapersonneinterrogéeavulefilmBlepremiersamedi»;1 B «laperinterrogéeavulefilmBledeuxièmesamedi».2 1. a. Calculerlesprobabilitéssuivantes: p(A )etp(A ).1 2 b. Calculerlesprobabilitésdechacundesévènements suivants: p(A /A ), p(A /B )et p(A ∩A )2 1 2 1 1 2 c. Reproduireetcompléter l’arbrepondérésuivant,enremplaçantchaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifi- cationn’estdemandéepourcettequestion. ? A ?2 A1? B ?2? ? ? A ?2 B1 B ?2? 8 d. Retrouveràpartirdel’arbrepondéréque p(A )= .2 11 2. LeprixdubilletpourlefilmAestde30Fetde20Fpourlefilm B. On appelle X la variablealéatoire égaleau coût total, pour la personne inter- rogée,desdeuxséancesdecinéma. a. Déterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoire X. b. Déterminerl’espérancemathématique delavariablealéatoire X. Exercice2 5points Enseignementobligatoire 3 21. Pourtoutnombrecomplexe z,onposeP(z)=z −3z +3z+7. a. Calculer P(−1). b. Déterminerlesréels aetb telsquepourtoutnombrecomplexe z,onait: 2 P(z)=(z+1)(z +az+b).BaccalauréatSjuin2000 c. RésoudredansCl’équation P(z)=0. 2. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O ; u
,
v).(Unité graphique:2cm.)Ondésignepar A, B, C etG lespointsdupland’affixesres- pectives   z =−1, z =2+i 3, z =2−i 3etz =3.A B C G a. RéaliserunefigureetplacerlespointsA, B, CetG. b. CalculerlesdistancesAB, BCetAC.EndéduirelanaturedutriangleABC. z −zA C c. Calculer un argument du nombre complexe .Endéduirelana- z −zG C turedutriangleGAC. 3. Soit (D)l’ensembledespoints M duplantelsque:
 −−→ −−→ −−→ −→ − MA +2MB +2MC ·CG =+12 (1) a. MontrerqueG estlebarycentredusystèmedepointspondérés {(A, −1); (B, 2); (C, 2)}. −−−→ −→ b. Montrerquelarelation(1)estéquivalenteàlarelationGM .CG =−4(2). c. VérifierquelepointAappartientàl’ensemble (D). −−→ −→ d. Montrerquelarelation(2)estéquivalenteàlarelationAM .GC =0. e. Endéduirel’ensemble(D)etletracer. Exercice2 5points Enseignementdespécialité Lespoints A =O;A ;...; A sont lessommets d’unpolygonerégulier decentre0 1 20 A,à21côtés,desensdirect. Les points B =O;B ; B sont les sommets d’un polygone régulier decentre B, à0 1 14 15côtés,desensdirect. 2π Soit r la rotation de centre A et d’angle et r la rotation de centre B et d’angleA B 21 2π . 15 Ondéfinitlasuite(M )depointspar:n - M estl’undespoints A , A , A ,..., A ;0 0 1 2 20 -pourtoutentiernaturel n, M =r (M ).n+1 A n Ondéfinitlasuite(P )depointspar:n -P estl’undespointsB , B , B ,...,B -pourtoutentiernatureln, P =r (P ).0 0 1 2 14 n+1 B n Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiersnaturels n vérifiant: M =P =O.n n 1. Danscettequestion, M =P = O.0 0 a. Indiquerlapositiondupoint M etcelledupoint P .2000 2000 b. Déterminerlepluspetitentiernaturel n nonnultelque M =P = O.n n Endéduirel’ensemble S. Antilles–Guyane 2BaccalauréatSjuin2000 2. Danscettequestion, M = A et P =B .0 19 0 10 Onconsidèrel’équation(E):7x−5y =1avecx ∈Zet y ∈Z. a. Déterminerunesolutionparticulière(a ; b)de(E). b. Déterminerl’ensemble dessolutionsde(E). c. Endéduirel’ensemble S desentiersnaturels n vérifiant M =P =O.n n Problème 11points Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0;+∞[par: 2 f(x)=xln(x )−2x. On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-
 →− →− thonormal O, ı ,  ; unitégraphique:1cm. PartieA -Étudede f . x 1. Montrerque,pour x >0, f(x)=2xlnx−2x puisque f(x)=2xln . e 2. a. Étudierlalimitede f en+∞. b. Montrerque f estdérivableentout x >0;calculerf (x)pourx >0. c. Étudierlesensdevariationdef sur]0;+∞[. d. Donnerletableaudevariationde f sur]0;+∞[. 3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C) avecl’axedesabscisses. 4. Montrerquel’équation f(x)=2admetsurl’intervalle[1;5]uneuniquesolu- − 2tionetendonnerlavaleurdécimalearrondieà10 . PartieB -Calculd’aires 1. Soit F lafonctiondéfiniesurl’intervalle [0;+∞[par  F(0) = 0  23x 2  F(x) = x lnx−2− si x >0 2 a. Onadmetque limxlnx =0;montrerqueF estdérivableen0etpréciser x→0 F (0). (x)= f(x).b. Montrerque,pourtout x appartenantà]0;+∞[, F 2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite D d’équationn y =nx. Ontrouveraci-dessousuntracédelacourbe(C)etdesdroitesD , D , D .0 1 2 Antilles–Guyane 3BaccalauréatSjuin2000 20 D2 D1 15 10 (C) 5 D0 −5 51015 −5 a. Déterminerlescoordonnéesdupoint I ,d’abscissestrictementpositive,n intersectionde(C)etdeD .n On appelle P le point de l’axe des abscisses de même abscisse que I .n n Placerlespoints I , I , I , P ,P ,P surlafiguredonnéeenannexe.0 1 2 0 1 2 b. Déterminerlapositionrelativede(C)etdeD pourlesabscissesappar-n tenantà]0;+∞[. 3. Pourtoutn
1,onconsidèreledomaine A situédanslequartdeplandéfinin par x
0ety
0,délimitépar(C), D et D .n−1 n Onnote a sonaire,expriméeenunitésd’aire.n a. Faireapparaîtrelesdomaines A et A surlafigure.1 2 b. Calculer l’aire t dutriangleOP I ,enunitésd’aire.n n n c. Calculer l’aire u , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart den plandéfinipar x
0ety
0,délimitépar(C),l’axedesabscisses, etles parallèlesàl’axedesordonnéespassantpar P et P .0 n d. Vérifier que l’aire v en unités d’aire,dudomainesitué danslequartden plan défini par x
0ety
0,délimitépar(C) , l’axe des abscisses et 2 nD ,estv =t −u =e e −1 .( )n n n n e. Calculer alors a .n 4. Montrerquelasuite(a )estunesuitegéométrique.n Enpréciserlaraisonetlepremierterme. Antilles–Guyane 4