Baccalaureat 2001 mathematiques specialite scientifique pondichery

BaccalauréatSPondichérymai2001EXERCICE1 4points1. Onpose,pourtoutentiernatureln nonnul,11 n −xI = (1−x) e dx.nn! 0a. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculerI .1b. Prouverque,pourtoutentiernatureln nonnul,11−x0I e dx.nn! 0Endéduire lim I .nn→+∞c. Montrer,enutilisantuneintégrationparpartiesquepourtoutentierna-turelnnonnul,ona:1I = −In+1 n(n+1)!∗2. Onconsidèrelasuite réelle (a ),définiesurN par a =0et,pour toutentiern 1natureln nonnul,n+1(−1)a =a + .n+1 n(n+1)!a. Démontrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln nonnul,1 na = +(−1) I .n neb. Endéduire lim a .nn→+∞XERCICE2 4pointsEOnconsidèrel’application f quiàtoutnombrecomplexe z différentde1,asso-cielenombrecomplexe2−izf(z)= .1−zL’exerciceétudiequelquespropriétésde f. →− →−Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v d’unité graphique 2cm,danslequelserontreprésentéslesensemblestrouvésauxquestions1.et2..Aestlepointd’affixe1etBceluid’affixe−2i.1. Onpose z =x+iy avecx et y réels.Écrire f(z)sousformealgébrique.Endéduirel’ensembledespointsM d’affixez telsque f(z)soitunréeletreprésentercetensemble.2. Onpose z = f(z).a. Vérifierquein’apasd’antécédentpar f etexprimer,pourz différentdei,z enfonctiondez . b. M est le point d’affixe z (z différentde1) et M celui d’affixe z (z diffé-rentdei).M CMontrer que OM = oùC et Dsontles points d’affixes respectives 2M Deti.BaccalauréatSmai2001c. Montrer que, lorsque le point M décritle cercle decentre O et de ...