Baccalaureat 2001 mathematiques specialite scientifique pondichery
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BaccalauréatSPondichérymai2001EXERCICE1 4points1. Onpose,pourtoutentiernatureln nonnul,11 n −xI = (1−x) e dx.nn! 0a. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculerI .1b. Prouverque,pourtoutentiernatureln nonnul,11−x0I e dx.nn! 0Endéduire lim I .nn→+∞c. Montrer,enutilisantuneintégrationparpartiesquepourtoutentierna-turelnnonnul,ona:1I = −In+1 n(n+1)!∗2. Onconsidèrelasuite réelle (a ),définiesurN par a =0et,pour toutentiern 1natureln nonnul,n+1(−1)a =a + .n+1 n(n+1)!a. Démontrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln nonnul,1 na = +(−1) I .n neb. Endéduire lim a .nn→+∞XERCICE2 4pointsEOnconsidèrel’application f quiàtoutnombrecomplexe z différentde1,asso-cielenombrecomplexe2−izf(z)= .1−zL’exerciceétudiequelquespropriétésde f. →− →−Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v d’unité graphique 2cm,danslequelserontreprésentéslesensemblestrouvésauxquestions1.et2..Aestlepointd’affixe1etBceluid’affixe−2i.1. Onpose z =x+iy avecx et y réels.Écrire f(z)sousformealgébrique.Endéduirel’ensembledespointsM d’affixez telsque f(z)soitunréeletreprésentercetensemble.2. Onpose z = f(z).a. Vérifierquein’apasd’antécédentpar f etexprimer,pourz différentdei,z enfonctiondez . b. M est le point d’affixe z (z différentde1) et M celui d’affixe z (z diffé-rentdei).M CMontrer que OM = oùC et Dsontles points d’affixes respectives 2M Deti.BaccalauréatSmai2001c. Montrer que, lorsque le point M décritle cercle decentre O et de ...

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Langue Français

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Baccalauréat S Pondichéry mai 2001
EXERCICE14 points 1.On pose, pour tout entier naturelnnon nul, 1 1 nx In=(1x) ed x. n!0 a.À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1. b.Prouver que, pour tout entier naturelnnon nul, 1 1 x 0Ined x. n!0 En déduirelimIn. n→+∞ c.Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier na turelnnon nul, on a : 1 In+1= −In (n+1)! 2.On considère la suite réelle (an), définie surNpara1=0 et, pour tout entier naturelnnon nul, n+1 (1) an+1=an+. (n+1)! a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul, 1 n an= +(1)In. e b.limEn déduirean. n→+∞
EXERCICE24 points On considère l’applicationfqui à tout nombre complexezdifférent de 1, asso cie le nombre complexe 2iz f(z)=. 1z L’exercice étudie quelques propriétés def.   Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions1.et2.. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe2i. 1.On posez=x+iyavecxetyréels. Écriref(z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des pointsMd’affixe ztels quef(z) soit un réel et représenter cet ensemble. 2.On posez=f(z). a.Vérifier que i n’a pas d’antécédent parfet exprimer, pourzdifférent de i,zen fonction dez.  b.Mest le point d’affixez(zdifférent de 1) etMcelui d’affixez(zdiffé rent de i). MC Montrer que OM=où C et D sontles points d’affixes respectives 2 MD et i.
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