Baccalaureat 2003 L mathématiques intégrale tous les sujets
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[BaccalauréatL2003\ L’intégraledeseptembre2002à juin2003 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2002 ......................3 Franceseptembre2002 ................................5 AmériqueduSudnovembre2002 .....................8 AmériqueduNordjuin2003 .........................11 Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 14 Centresétrangersjuin2003 ..........................17 Clermontjuin2003 .................................. 21 Francejuin2003 .....................................24 Japonjuin2003 ...................................... 27 LaRéunionjuin2003 ................................31 Libanjuin2003 .......................................35 BaccalauréatLspécialité L’année2003 2 Durée:3heures [BaccalauréatLAntillesseptembre2002\ EXERCICE 1 OBLIGATOIRE (7points) On considèreun segment [AB] delongueur 10 centimètres etun point M dece segment,différentdeAetB.LespointsN etP sonttelsqueAMNP estuncarré. L’objectifdel’exerciceestdedéterminerlepoint M dusegment [AB]pourlequel la distanceBN estminimale.Lesdistancessontexpriméesencentimètres. I.OnposeAM=x. 1. Faireunefigure. 2. Déterminerl’intervalledesvaleurspossiblespourx. 3. Déterminerenfonctiondex ladistanceBM. 4. Déterminerenfonctiondex ladistanceBN. (Onrappelle le théorème dePythagore:dans un triangleABCrectangle en A 2 2 2onaBC =AB +AC ) II.Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0;10]parp 2f(x)= 2x −20x+100. ′Lafonctiondérivée f de f estdéfiniesurl’intervalle[0;10]par 2x−10′f (x)=p . 22x −20x+100 1. a. Étudierlesvariationsdelafonction f surl’intervalle[0;10]. b. Montrerquelafonction f admetunminimumsurl’intervalle[0;10]que l’onprécisera. 2. a. Tracerlacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormald’unité uncentimètre. b. Résoudregraphiquementl’équation f (x)=8.Onferaapparaîtrelestraits de construction utiles et on donnera des valeurs approchées des solu- tionslues. III. En utilisant les résultats précédents, déterminer le point M du segment [AB] pourlequelladistanceBN estminimale. EXERCICE 2 OBLIGATOIRE (6points) Onconsidèrelasuite(u )définieparu =8etpourtoutentiernatureln,n 0 1 u = u −5.n+1 n2 1. a. Calculerlestermesu etu .1 2 b. La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? On justifiera les ré-n ponses. 2. Onconsidèrelasuite(v )définiepourtoutentiernatureln parn v =u +10.n n 1 a. Montrerquelasuite(v )estunesuitegéométriquederaison etcalcu-n 2 lerlepremiertermev .0 b. Exprimerletermegénéralv enfonctionden.n BaccalauréatLspécialité L’année2003 3. Déterminerlalimitedelasuite(v )puiscelledelasuite(u ).n n AUCHOIXexercice3ouexercice4 EXERCICE 3 7points Uneurnecontienttroisboulesvertes,uneboulebleueetcinqboulesrouges. Ontireauhasardsimultanément troisboulesdecetteurne. 1. Déterminerlenombredechoixpossiblespourcetirage. 2. OnconsidèrelesévènementsA,B,CetDsuivants: A:«Tirertroisboulesrouges». B:«Tirertroisboulesdelamêmecouleur». C:«Netireraucunebouleverte». D:«Tireraumoinsunebouleverte». 5 a. Montrerquelaprobabilitép(A)del’évènement Aestégaleà . 42 b. Déterminerlaprobabilitédechacundesévénements B,CetD.Ondon- neralesrésultatssousformedefractionsirréductibles. 3. Untirageestgagnantsil’ontiretroisboulesrouges. Oneffectuequatretiragessuccessifsenremettantàchaquefoislestroisboules tiréesdansl’urne.Touslestiragessontindépendants. Déterminerlaprobabilitéd’obtenirexactementtroistiragesgagnants.Ondon- −3neralerésultatarrondià10 . EXERCICE 4 7points OnconsidèrelesnombresA=8387592115 etB=9276312516. 1. a. Montrerque1000estdivisiblepar8. b. MontrerqueAestcongruà3modulo8. c. Donnerl’entiernaturelbstrictementinférieurà8telqueBsoitcongruà b modulo8. 2. Déterminerlesentiersnaturelsstrictementinférieursà8quisontcongrusres- pectivementàA+BetàAB. 23. a. MontrerqueB estdivisiblepar8. 2b. MontrerqueA n’estpasdivisiblepar8. 100c. MontrerqueA n’estpasdivisiblepar8. Antilles–Guyane 4 septembre2002 [BaccalauréatLFranceseptembre2002\ Duréedel’épreuve:3heures EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 8points 2 Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des toboggansdontle profila 1 l’alluredelacourbeci-contre. 0 1 2 3 ³ ´→− →− Le plan est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  . On prendra 3 cm pour unitégraphique. L’objetdel’exerciceestdemodéliserceprofilàl’aidedelacourbereprésentativeC d’unefonctiondéfiniesurl’intervalle[0;3]vérifiantlesconditionssuivantes: (1)LacourbeC passeparlespointsA(0;2)etB(3;0); (2)LacourbeC admetenchacundespointsAetBunetangenteparallèleàl’axe desabscisses. PartieI 1. a. Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalleRpar: 2 2f(x)=− x +2. 3 Étudier les variations de la fonction f (on ne demande pas l’étude des limites). b. Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalleRpar: 1 2 g(x)= x −2x+3. 3 Étudier les variations de la fonction g (on ne demande pas l’étude des limites). 2. OnnoterespectivementC etC lescourbesreprésentativesdesfonctions ff g etg. Ã ! 4 a. Démontrer queC etC passent par le point K 1; et ont la mêmef g 3 tangenteTencepoint. b. Tracersurunmêmegraphique,ladroiteT,lapartiedeC correspondantf aux points d’abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie deC corres-g pondantauxpointsd’abscissescomprisesentre1et3. La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une ré- ponseauproblèmeposé. BaccalauréatLspécialité L’année2003 PartieII Lebureaud’étudesaétabliquel’onpouvaitégalementmodéliserleprofilduto- bogganàl’aided’unepartiedelacourbereprésentativeC delafonctionh,définieh surRpar: 4 2 3 2h(x)= x − x +2. 27 3 1. Démontrerquelafonctionh vérifielesconditions(1)et(2). 2. DéterminerlescoordonnéesdupointdeC d’abscisse1etlec?fficientdirec-h teurdelatangenteencepoint. EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 7points AliceetCarolecomparentleurssalaires.Elles débutentchacuneavecunsalaire de1500euros. Chaquemois,àpartirdudeuxièmemois: •Lesalaired’Aliceaugmentede8euros. •LesalairedeCaroleaugmentede0,2%etonyajoute4euros. Pourtoutentiernatureln,ondésignepara ,lesalairemensueleneurosqueperçoitn Aliceàlafindu(n+1)-ièmemois,etparc ,celuiperçuparCarole.Ainsi:n a =c =1500; a ,etc représententlessalairesperçusàlafindudeuxièmemois.0 0 1 1 1. Calculer a etc , a etc .1 1 2 2 2. a. Pourtoutentiernatureln,exprimera enfonctiondea .Quelleestlan+1 n naturedelasuite(a )?n b. Endéduire,pourtoutentiernatureln,l’expressiondea ,enfonctionden n. 3. a. Justifierque,pourtoutentiernatureln : c =1,002c +4.n+1 n b. Onconsidèrelasuite(v )telleque,pourtoutentiernatureln, v =c +n n n 2000. Démontrer que la suite (v ) est une suite géométrique de raison 1,002.n Calculer v et,pourtoutentiernatureln,exprimer v enfonctionden.0 n Endéduireque: nc =3500×1,002 −2000.n 4. Calculer, puis comparer les salaires annuels qu’Alice et Carole ont perçus au coursdeleurpremièreannéedetravail. Rappel Siq estunréeldifférentde1etn unentiernaturelsupérieurà2, n+11−q 2 n1+q+q +¢¢¢+q = . 1−q n(n+1) et 1+2+¢¢¢+n= . 2 Lecandidattraiteraauchoixl’exercice3oul’exercice4 France 6 juin2002 BaccalauréatLspécialité L’année2003 EXERCICE 3 AU CHOIX 5points Une agence de voyages de Paris organise des circuits touristiques comprenant les sites suivants : le musée d’Orsay, le musée du Louvre, le musée Grévin, l’Arc de Triomphe,latourEiffel,l’Assembléenationale. 1. L’agenceproposeàsesclientsunforfaitpourlavisitedequatresitesparmiles sixcités. a. Quelestlenombredechoixpossiblessionnetientpascomptedel’ordre desvisites? b. Combien de ces choix comprennent à la fois la visite de la tour Eiffel et celledumuséed’Orsay? 2. Une étude statistique a permis d’observer que 55% des clients de l’agence sont des femmes et 45% des hommes. De plus, parmi ces clients, 30% des hommeset20%desfemmesvisitentl’Assembléenationale. Onchoisitauhasardunclient.OnnoteFl’évènement«leclientestunefemme», Hl’évènement «leclientestunhomme»,Al’évènement «leclientvisitel’As- semblée nationale» et A l’évènement contraire de A : «le client ne visite pas l’Assembléenationale». a. D’aprèslesinformationsdel’énoncé,préciserlesprobabilitésp(F),p(H), p (A),p (A).H F b. Reproduireetcompléterl’arbredeprobabilitéci-contre. Endéduirelavaleurdep(A). A F A A H A c. Quelle est la probabilité que le client soit un homme sachant qu’il ne visitepasl’Assembléenationale? EXERCICE 4 AU CHOIX 5points erLe1 août2002seraunjeudi.Lebutduproblèmeestdedéterminerlesannées ercomprisesentre2003et2029pourlesquelles le1 aoûttomberaaussiunjeudi. Pources années, une année bissextile est une année dontle millésime est divisible par4. Onrappelle qu’une année non bissextile compte 365 jours et une année bis- sextile366jours. 1. Donnerlalistedesannéesbissextilescomprisesentre2003et2029. 2. a. Démontrerquel’ona:365≡1(modulo7)et366≡2(modulo7). er erb. Prouver que le 1 août 2003 sera un vendredi et le 1 août 2004 un di- manche. erc. Préciserlejourdelasemainecorrespondantau1 aoûtdechacunedes annéesde2005à2013. er3. Donner la liste des années de 2003 à 2029 pour lesquelles le 1 août sera un jeudi. France 7 juin2002 Durée:3heures [BaccalauréatLAmériqueduSudnovembre2002\ LECANDIDATTRAITERAOBLIGATOIREMENTL’EXERCICE1ETL’EXERCICE2ET AUCHOIXSOITL’EXERCICE3SOITL’EXERCICE4. L’usagedelacalculatriceestautorisépourcetteépreuve.L’attentiondescandidats estattiréesurlefaitquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondes raisonnementsentrentpourunepartimportantedansl’appréciationdescopies. EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 6points À «La ferme de la poule pondeuse», chaque jour on produit des œufs de deux taillesdifférentes: 60%desœufssontmoyenset40%desœufssontgros. Lesœufssontclassésendeuxcatégories:ceuxdequalitéordinaireetceuxdequalité supérieure. Onaremarquéque: 50%desœufsmoyenssontdequalitéordinaire, 20%desgrosœufssontdequalitéordinaire. On choisit un œuf au hasard. Le choix au hasard d’un œuf dans la production du joursignifiequ’onseplacedansunmodèleavecéquiprobabilité.Ondéfinitlesévè- nementssuivants: M:«l’œufestmoyen», G:«l’œufestgros», O:«l’œufestdequalitéordinaire», S:«l’œufestdequalitésupérieure». 1. Donnerlesprobabilitéssuivantes: P(G),probabilitéquel’œufsoitgros, P (S),probabilitéquel’œufsoitdequalitésupérieuresachantqu’ilestgros.G 2. Démontrerquelaprobabilitédeprendreunœufgrosetdequalitésupérieure estégaleà0,32. 3. CalculerlaprobabilitéP(M∩S)quel’œufsoitmoyenetdequalitésupérieure puislaprobabilitéP(S)del’évènement S. EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 8points Onveutrésoudre,dansl’ensembledesnombresréelsRl’équation: 3 2x −2x −4x+5=0. A–Méthodegraphique: 1. a. Vérifierquelenombre2n’estpassolutiondel’équation. 4x−5 2b. Montrer que, pour x?2, l’équation x = est équivalente à l’équa- x−2 3 2tionx −2x −4x+5=0. BaccalauréatLspécialité L’année2003 4x−5 2. Soit f la fonction définie pour tout réel x différent de 2 par f(x)= . Sa x−2 courbereprésentativeH dansunrepèreorthonorméestdonnéeenannexeà rendreaveclacopie. a. Parlecturegraphique,indiquerlesensdevariationsde f surchacundes intervalles]−∞; 2[et]2;+∞[. ′b. Déterminerladérivée f de f puisjustifierlerésultatludanslaquestion précédente. 23. Soit g lafonction définiesurRpar g(x)=x .Tracersacourbereprésentative P danslerepèreutilisépourutilisépourH. 4. Parlecturegraphique,déterminerlenombredesolutionsdansRdel’équation 3 2 −1x −2x −4x+5=0.Donnerlavaleurexacteouunevaleurapprochéeà10 prèsdechacunedecessolutions. B-Méthodealgébrique 2 3 21. Vérifierque,pourtoutréelx : (x−1)(x −x−5)=x −2x −4x+5. 22. Soith lafonctiondéfiniesurRparh(x)=x −x−5. a. Étudierlesensdevariationdeh.Ã ! 1 b. Montrerqueh estlavaleurminimumpriseparh. 2 Ã ! 1 1 c. On pose x= +u. Exprimer h +u en fonction de u; factoriser l’ex- 2 2 pressionobtenue. d. Endéduirelesvaleursduréelx pourlesquellesh(x)=0. 3 23. Donnerl’ensembledessolutionsdansRdel’équation x −2x −4x+5=0. LECANDIDATTRAITERAL’UNDESDEUXEXERCICESSUIVANTS EXERCICE 3 AU CHOIX 6points Ondiviseuntriangleéquilatéralenquatretriangleséquilatérauxobtenusentra- çant les segments joignant les milieux des côtés et on noircit le triangle central. Chaque triangle non noirci est alors divisé en quatre triangles équilatéraux selon lemêmeprocédéetonnoircitletrianglecentralcommeprécédemment. ’ eère 2 étape1 étape e1. a. Réaliser la 3 étape en partant d’un triangle équilatéral de côté 16 cm. Combiendetrianglesnoircisont-ilsétérajoutés? b. Combiendetrianglesnoircisseront-ilsrajoutésàlaquatrièmeétape? AmériqueduSud 9 novembre2002 BaccalauréatLspécialité L’année2003 2. OnnoteT lenombredetrianglesnoircisrajoutésàlan-ième étapeoùn estn unentiersupérieurouégalà1. Lasuite T ,ainsidéfinie,estunesuitegéométriquederaison3.( )n a. DonnerlavaleurdeT , T , T .1 2 3 b. ExprimerT enfonctionden.Vérifierlesrésultatstrouvésàlaquestionn 1. 3. Calculerlenombretotaldetrianglesnoircisaprèsladixièmeétape. EXERCICE 4 AU CHOIX 6points Uneurnecontient11jetons(indiscernablesautoucher)numérotésde1à11. Ontiresimultanémenttroisjetonsdel’urne. 1. Démontrerquelenombredetiragespossiblesestégalà165. 2. a. Déterminerlenombredetiragesnecomportantquedesjetonsayantun numéroimpair. b. Endéduirelenombredetiragesayantaumoinsunjetondontlenuméro estpair. 3. a. Déterminer le nombre de tirages comportant trois jetons ayant un nu- méropair. b. Déterminerlenombredetiragescomportantlejetonnuméroté2etau- cun autre jeton ayant un numéro pair. En déduire le nombre de tirages avecunseuljetonportantunnuméropair. c. Justifier que le nombre de tirages ayant seulement deux jetons avec un numéropairestégalà60. AmériqueduSud 10 novembre2002
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