Baccalaureat 2003 mathematiques scientifique recueil d'annales
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[BaccalauréatS2003\L’intégraledeseptembre2002àjuin2003PourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleusAntilles-Guyaneseptembre2002 ..................... 3Franceseptembre2002 ............................... 7Polynésiespécialitéseptembre2002 .................11Nouvelle-Calédonienovembre2002 .................14AmériqueduSuddécembre2002 ....................17Pondichéryavril2003 ................................20Libanjuin2003.......................................25AmériqueduNordjuin2003 .........................28Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 32Asiejuin2003 ........................................35Centresétrangersjuin2003 ..........................39Francejuin2003......................................43LaRéunionjuin2003 .................................48Polynésiejuin2003 .................................. 52BaccalauréatS année20032[BaccalauréatSAntilles-Guyane\septembre2002EXERCICE 1 enseignementobligatoire11. Soitlasuite(u )définieparu = etparlarelationderécurrence:n 1 21 1u = u + .n+1 n6 32a. Soitlasuite(v )définiepourn>1parv =u − ;montrerque(v )estn n n n5unesuitegéométriquedontonpréciseralaraison.b. Endéduirel’expressiondev enfonctionden puiscelledeu .n n2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rougeset trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux facesblanches.On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde lemême dé,si on obtient blanc,on ...
Voir
[BaccalauréatS2003\
L’intégraledeseptembre2002à
juin2003
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2002 ..................... 3
Franceseptembre2002 ............................... 7
Polynésiespécialitéseptembre2002 .................11
Nouvelle-Calédonienovembre2002 .................14
AmériqueduSuddécembre2002 ....................17
Pondichéryavril2003 ................................20
Libanjuin2003.......................................25
AmériqueduNordjuin2003 .........................28
Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 32
Asiejuin2003 ........................................35
Centresétrangersjuin2003 ..........................39
Francejuin2003......................................43
LaRéunionjuin2003 .................................48
Polynésiejuin2003 .................................. 52 BaccalauréatS année2003
2 [BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2002
EXERCICE 1 enseignementobligatoire
11. Soitlasuite(u )définieparu = etparlarelationderécurrence:n 1 2
1 1
u = u + .n+1 n6 3
2a. Soitlasuite(v )définiepourn>1parv =u − ;montrerque(v )estn n n n5
unesuitegéométriquedontonpréciseralaraison.
b. Endéduirel’expressiondev enfonctionden puiscelledeu .n n
2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges
et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces
blanches.
On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le
même dé,si on obtient blanc,on changededé. Puis onrelancele déet ainsi
desuite.
Ondésignepar A l’évènement «onutiliseledéAaun-ièmelancer»,n
par A l’évènement contrairede A ,n n
parR l’évènement «onobtientrougeaun-ièmelancer»,n
parR l’évènement contrairedeR ,n n
par a etr lesprobabilitésrespectivesde A etR .n n n n
a. Déterminer a .1
b. Déterminerr .Pourcela,onpourras’aiderd’unarbre.1 ³ ´
c. Enremarquantque,pourtoutn>1,R =(R ∩R )∪ R ∩R ,montrern n n n n
1 2quer =− a + .n n6 3
d. Montrerque,pourtoutn>1,³ ´
A =(A ∩R )∪ A ∩R .n+1 n n n n
e. Endéduireque,pourtoutn>1,
1 1a = a + ,puisdéterminerl’expressiondea enfonctionden.n+1 n n6 3
f. Endéduirel’expressionder enfonctiondenpuislalimiteder quandn n
n tendvers+∞.
EXERCICE 2 enseignementobligatoire³ ´→− →−
Dansle plan complexe rapport au repèreorthonormal direct O, u , v (unité gra-
phique:5cm),onconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectives
1 1
z =1+i et z =− + i.A B 2 2
Ondésignepar(C)lecercledecentreOetderayon1.
1. Donnerlaformetrigonométriquedez etcelledez .A B
iα2. Danslasuitedel’exercice,M désigneunpointde(C)d’affixee , α∈[0; 2π].
Onconsidèrel’application f qui toutpoint M de(C),associe
f(M)=MA×MB.
a. Montrer,pourtoutα∈R,l’égalitésuivante:
i2α iαe −1=2ie . BaccalauréatS année2003
¯ µ ¶ ¯¯ ¯1 3i2α iα¯ ¯b. Montrerl’égalitésuivante: f(M)= e −1− + i e .¯ ¯2 2s µ ¶21 3
c. Endéduirel’égalitésuivante: f(M)= + − +2sinα .
4 2
3. a. Enutilisant2c,montrerqu’ilexistedeuxpoints M de(C),dontondon-
neralescoordonnées,pourlesquels f(M)estminimal.Donnercetteva-
leurminimale.
b. En utilisant 2 c, montrer qu’il existe un seul point M de (C), dont on
donnera les coordonnées, pour lequel f(M) est maximal. Donner cette
valeurmaximale.
EXERCICE 2 enseignementdespécialité
Dansleplan,onconsidèredeuxsegments[AC]et[BD]telsque³ ´−á→ −→ π
AC=BD et AC, BD =− .
2
OndésigneparMlemilieude[AC]etparNceluide[BD].Onappelle(C ),(C ),(C )1 2 3
et(C )lescerclesdediamètresrespectifs[AB],[BC],[CD]et[DA].4
Onpourras’aiderdelafigureci-jointe.
1. a. Soit r larotationqui transforme AenBetCen D.Quelest l’angle der ?
MontrerquelecentreIder appartientauxcercles(C )et(C ).1 3
′ ′b. Soitr larotationquitransformeAenDetCenB.Quelestl’angleder ?
′MontrerquelecentreJder appartientauxcercles(C )et(C ).2 4
c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM? On désigne par P et R les
points diamètralement opposés à I sur, respectivement (C ) et (C ) et1 3
parQetSlespointsdiamètralementopposésàJsur,respectivement(C )2
et(C ).4
p π
2. Soits lasimilitudedirectedecentreI,derapport 2etd’angle .
4
a. Quellessontlesimagespars despointsD,N,B?
b. EndéduirequeJestlemilieude[PR].
Antilles-Guyane 4 septembre2002 BaccalauréatS année2003
P
(C )1
(C )4
A
S
B
N
J I (C )2D
M
(C )3 Q
R C
PROBLÈME
Soit f lafonctiondfiniesur[0;1]par:
f(0) = 0
f(1) = 0
f(x) = (lnx)×ln(1−x), pour x∈]0; 1[
oùlndésignelafonctionlogarithmenépérien. OnnoteC sacourbereprésentative
dansunrepèreorthonormal(unitégraphique:10cm).
Onadmetque lim f(x)=0et lim f(x)=0,ainsiquelerésultatsuivant:
x→0 x→1
αpour α>0, limx lnx=0.
x→0
PartieA-Étudedelafonctionf
ln(1−x)
1. a. Déterminerlalimitequand x tendvers0del’expression .
x
f(x)
b. Endéduirelalimitequandx tendvers0del’expression ;quepeut-
x
onendéduirepourlacourbeC ?¸ · µ ¶ µ ¶
1 1 1 1
2. Montrerquepourtoutx∈ − ; , f −x = f +x .
2 2 2 2
Quepeut-onenconclurepourC ?
3. Soitϕlafonctiondéfiniesur]0;1[par:
ϕ(x)=(1−x)ln(1−x)−xlnx.
2x−1′ ′′a. Déterminerϕ (x),puismontrerl’égalitéϕ (x)= ;endéduireles
x(1−x)
′variationsdeϕ sur]0;1[.
′b. Montrerqueϕ s’annuleendeuxvaleursα etα sur]0;1[(onnecher-1 2
′cherapasàcalculercesvaleurs).Donnerlesignedeϕ sur]0;1[.
Antilles-Guyane 5 septembre2002 BaccalauréatS année2003
c. Déterminerlalimitequandx tendvers0del’expressionϕ(x)etlalimiteµ ¶
1
quand x tendvers1deϕ(x).Calculerϕ .Endéduirelesignedeϕ(x)
2
sur]0;1[.
′4. a. Montrerque f (x)amêmesignequeϕ(x)sur]0;1[.
b. Donnerletableaudevariationsde f.
c. Montrerque,pourtoutx∈]0; 1[,lesinégalitéssuivantessontvraies:
20<(lnx)×ln(1−x)6(ln2) .
d. TracerC.
PartieB-Encadrementd’uneintégrale¸ ·
1
Pourt∈ 0; ,onpose:
2
1 1 1Z Z Z
2 2 22I (t)= xlnxdx, I (t)= x lnxdx, I(t)= f(x)dx.1 2
t t t
1. a. Àl’aided’intégrationsparparties,montrerque:
2ln2 1 1 t2I (t)=− − − t lnt+ ;1 8 16 2 4
3 3ln2 1 t lnt t
I (t)=− − − + .2
24 72 3 9
b. DéterminerleslimitesdeI (t)etdeI (t)quandt tendvers0.1 2¸ ·
1
2. Soitg eth lesfonctionsdéfiniessur 0; par:
2· ¸2 2x x
g(x)=− x+ et h(x)=g(x)− .
2 2¸ ·
1
a. Étudiersur 0; lesvariationsdelafonction
2
x7!ln(1−x)−g(x).¸ ·
1
b. Endéduireque,pourtoutx∈ 0; :
2
ln(1−x)6g(x). ¸ ·
1
c. Parunprocédéanalogue,montrerquepourtout x∈ 0; :
2
ln(1−x)>h(x).¸ ·
1
d. Endéduireunencadrementde f(x)sur 0; .
2
1
3. a. Montrerque−I (t)− I (t)6I(t)6−I (t)−I (t).1 2 1 22
b. EnsupposantqueI(t)admetunelimitenoteℓquandt tendvers0,don-
nerunencadrementdeℓ.
Antilles-Guyane 6 septembre2002 [BaccalauréatSFranceseptembre2002\
EXERCICE 1 4points
Commun touslescandidats
Un carré de côté 20 cm est partagé selon
les10zonessuivantes:
– undisqueDderayon1cm,
– 8 secteurs S , S , ..., S de même aire S S1 2 8 3 2
délimitésparlesfrontièresdudisqueD
′ S S4 1et du disque D de même centre et de
rayon9cm,
′– unezoneRentreledisqueD etlebord S S5 8
ducarré.
On place un point aléatoirement dans le S S6 7
carré. La probabilité de placer le point
Rdans une zone quelconque du carré est
proportionnelleàl’airedecettezone.
1. a. Déterminerlaprobabilitép(D)pourquelepointsoitplacédansledisque
D.
b. Déterminerlaprobabilité p(S )pourquelepointsoitplacédanslesec-1
teurS .1
2. Pourcettequestion2.,onutiliseralesvaleursapprochéessuivantes:
p(D)=0,008etpourtoutk appartenantà{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8},
p(S )=0,078 5.k
Àcettesituationaléatoireestassociélejeusuivant:
– unpointplacédansledisqueDfaitgagner10euros;
– un point placé dans le secteur S fait gagner k euros pour tout k apparte-k
nantà{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};
– unpointplacédanslazoneRfaitperdre4euros.
Onnote X lavariablealatoireégaleaugainalgébriqueobtenu.
a. Calculerlaprobabilitép(R)pourquelepointsoitplacédanslazoneR.
Calculerl’espérancedeX.
b. On joue deux fois desuite. On a doncplacé deux points de manière in-
dépendantedanslecarré.Calculer laprobabilitéd’obtenirungaintotal
positifounul.
c. Soitnunentiernaturelsupérieurouégalàdeux.Onjouen foisdesuite.
Onadoncplacén pointsdemanièreindépendantedanslecarré.
Calculerlaprobabilitép d’obteniraumoinsunpointplacédansledisquen
D.
Déterminerlapluspetitevaleurden telquep >0,9.n
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité ³ ´→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v d’unité
graphique4cm.
Onnote AetBles points d’affixesrespectives 1eti.Àtoutpoint M, distinctdeAet
′d’affixez,estassociélepoint M d’affixeZ définiepar:
(1−i)(z−i)
Z= .
z−1 BaccalauréatS année2003
′1. a. Calculerl’affixedupointC associéaupointCd’affixe−i.
b. PlacerlespointsA,BetC.
2. Soitz=x+iy oùx et y désignentdeuxnombresréels.
a. Montrerl’égalité:
2 2 2 2(x−1) +(y−1) −1 x +y −1
Z= − .
2 2 2 2(x−1) +y (x−1) +y
b. Déterminerl’ensembleEdespoints M d’affixez telleque Z soitréel.
c. Déterminerl’ensemble Fdespoints M d’affixez tellequeRe(Z)soitné-
gatifounul.
3. a. Écrirelenombrecomplexe(1−i)sousformetrigonométrique.
b. SoitM unpointd’affixez,distinctdeAetdeB.Montrerque:
(1−i)(z−i) ∈ R∗sietseulements’ilexisteunentierk telque
z−1³ ´−−→ −−→ π
MA, MB = +kπ.
4 ³ ´−−→ −−→ π
c. Endéduirel’ensembledespoints M vérifiant MA, MB = +kπ.
4³ ´−−→ −−→ π
d. Déterminerl’ensembledespoints M vérifiant MA, MB = +2kπ.
4
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
C B
E3
D A E E A E1 2 1 4
OnconsidèreunrectangledirectABCDvérifiant:AB=10cmetAD=5cm.
1. Faireunefigure:construireABCD,puislesimagesrespectivesM,NetPdeB,
π
CetDparlarotationr decentreAetd’angle− .
2
′ ′ ′2. a. Construire le centreΩ de la rotation r qui vérifie r (A) = N et r (B) = P.
′Déterminerl’angleder .
′b. Montrerquel’imagedeABCDparr estAMNP.
c. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma-
−1 ′tionr ◦r .
3. OnconsidèrelesimagessuccessivesdesrectanglesABCDetAMNPparlatrans-−−→
lation de vecteur DM. Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de
points (A ) vérifiant,encm, DA =5+15k.Sur lamêmedemi-droite,onk k>1 k
considèrelasuitedepoints(E ) vérifiant,encm,DE =6,55n.n nn>1
a. Déterminer l’entier k tel que E appartienne à [A ,A ]. Que vaut la120 k k+1
longueur A E encm?k 120
France 8 septembre2002
×
×
× BaccalauréatS année2003
b. Oncherchedanscettequestionpourquellevaleurminimalen lepoint0
E estconfonduavecunpoint A .n k0
MontrerquesiunpointE estconfonduavecunpoint A alorsn k
131n−300k=100.
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