Baccalaureat 2003 mathematiques specialite scientifique liban

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BaccalauréatsérieSLibanmai2003EXERCICE1 4pointsCommunàtouslescandidatsUneurnecontientquatreboulesnoiresetdeuxboulesblanches.Soit n unentiernaturelsupérieurouégalà2.Onrépète n foisl’épreuvequiconsisteàtireruneboulepuis laremettredansl’urne;onsupposequetouteslesboulesontlamêmeprobabilitéd’êtretiréesetquelestiragessontindépendants.Onnote p ,laprobabilitédetirerexactementunebouleblanchelorsdes n−1pre-nmierstiragesetunebouleblanchelorsdu n-ièmetirage.1. Calculer lesprobabilités p , p et p .2 3 42. Onconsidèrelesévènements suivants:B :«Ontireunebouleblanchelorsdun-ièmetirage»,nU :«Ontireunebouleblancheetuneseulelorsdesn−1premierstirages».na. Calculerlaprobabilitédel’évènement B .nb. Exprimerlaprobabilitédel U enfonctionde n.nc. Endéduirel’expressionde p enfonctionde n etvériﬁerl’égalité:n nn−1 2p = × .n4 33. Onpose: S = p +p +···+p .n 2 3 na. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ouégalà2,ona: nn 2S =1− +1 × .n2 3).b. Déterminerlalimitedelasuite(SnEXERCICE2 5pointsCandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité1. RésoudredansCl’équation:24z −12z+153=0. →− →−2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, u , v , d’unité graphique31 cm on considère les points A, B, C, P d’afﬁxes respectives: z = +6i, z =A B23 1 5−→−6i; z =−3− i, z =3+2ietlevecteur w d’afﬁxe z−→=−1+ i.C P w2 4 2a. Déterminerl’afﬁxe z dupointQ,imagedupointBdanslatranslation tQ−→devecteur w .b. Déterminer l’afﬁxe z du point R ...

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Baccalauréat série S Liban mai 2003

EXERCICE14 points Commun à tous les candidats Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On répètenfois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puisla remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On notepn, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors desn−1 pre miers tirages et une boule blanche lors dunième tirage.

1.Calculer les probabilitésp2,p3etp4. 2.On considère les évènements suivants : Bn: « On tire une boule blanche lors dunième tirage », Un: « On tire une boule blanche et une seule lors desn−1 premiers tirages ».

a.Calculer la probabilité de l’évènementBn. b.Exprimer la probabilité de l’évènementUnen fonction den. c.En déduire l’expression depnen fonction denet vériﬁer l’égalité :   n n−1 2 pn= ×. 4 3

3.On pose :Sn=p2+p3+ ∙ ∙ ∙ +pn.

a.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a :    n n2 Sn=1− +1×. 2 3

b.Déterminer la limite de la suite (Sn).

EXERCICE2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1.Résoudre dansCl’équation :

5 points

2 4z−12z+153=0.   −→−→ 2.O,Dans le plan rapporté à un repère orthonorméu,v, d’unité graphique 3 1 cm on considère les points A, B, C, P d’afﬁxes respectives:zA= +6i,zB= 2 3 15 −→ −→ −6i ;zC= −3−i,zP=3+2i et le vecteurwd’afﬁxez= −1+i. w 2 42 a.Déterminer l’afﬁxezQdu point Q, image du point B dans la translationt −→ de vecteurw. b.Déterminer l’afﬁxezRdu point R, image du point P par l’homothétieh 1 de centre C et de rapport−. 3

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