Baccalaureat 2003 mathematiques specialite scientifique pondichery

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BaccalauréatsérieSPondichérymars2003EXERCICE1 4pointsOnconsidèrelasuitenumérique(u )définiesurNpar:nu = a, et,pourtoutentier n, u =u (2−u ).0 n+1 n noù a estunréeldonnételque0< a<1.11. Onsuppose danscettequestionque a=8a. Calculer u et u .1 2b. Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter-valle [0; 2], la droite (d)d’équation y = x et la courbe (Γ)représentativedelafonction: f : x → x(2−x).c. Utiliser(d)et(Γ)pourconstruiresurl’axedesabscisseslespointsA ,A,1 2A d’abscissesrespectives u , u , u .3 1 2 32. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle]0;1[.a. Montrerparrécurrenceque,pourtoutentier n,0

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Baccalauréat série S Pondichéry mars 2003

E XERCICE 1 On considère la suite numérique (u n ) définie surNpar :

u 0 =a, et,pour tout entiern,u n+1 =u n (2−u n ). oùaest un réel donné tel que 0<a<1.

4 points

1 1.On suppose dans cette question quea= 8 a.Calculeru 1 etu 2 . b.Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter valle [0; 2], la droite (d) d’équationy=xet la courbe (Γ) représentative de la fonction :f:x→x(2−x). c.Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A 1 , A 2 , A 3 d’abscisses respectivesu 1 ,u 2 ,u 3 .

2.On suppose dans cette question queaest un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[.

a.Montrer par récurrence que, pour tout entiern, 0<u n <1. b.Montrer que la suite (u n ) est croissante. c.?Que peuton en déduire

1 3.On suppose à nouveau dans cette question quea=. On considère la suite 8 numérique (v n ) définie surNpar :

v n =1−u n . a.Exprimer, pour tout entiern,v n+1 en fonction dev n . b.En déduire l’expression dev n en fonction den. c.Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (u n ).

E XERCICE 25 points Enseignement obligatoire Première partie On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante : 3 2 (E)z+2z−16=0. 1.Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme: 2 (z−2)(a z+b z+c)=0, oùa,betcsont trois réels que l’on déterminera. 2.En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. Deuxième partie   −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,ı,. 1.Placer les points A, B et D d’affixes respectives

z A = −2−2i,z B =2 etz D = −2+2i.