Baccalaureat 2004 L TOUTES EPREUVES

[BaccalauréatLspécialité2004\ L’intégraledeseptembre2003 àjuin2004 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Franceseptembre2003 ................................3 Nouvelle-Calédonienovembre2003 ..................7 AmériqueduNordjuin2004 .........................14 Antillesjuin2004 .....................................17 Centresétrangersjuin2004 ..........................20 Francejuin2004 .....................................25 Japonjuin2004 ...................................... 28 LaRéunionjuin2005 ................................32 Libanjuin2005 .......................................35 Polynésiejuin2005 .................................. 39BaccalauréatLspécialité L’année2004 2[BaccalauréatLFranceseptembre2003\ EXERCICE 1 4points Pour les questions 1 et 2 ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte.Ondemandeàchaquefoisd’indiquerlaquelle,sansdonnerdejustification. 1. a. On lance une pièce de monnaie six fois de suite et on note, à chaque lancer,lenomducôtévisible(PileouFace). Lenombrederésultatspossiblesest: 6 2 22 6! 6 C .6 b. On prend simultanément deux cartes au hasard parmi six cartes dis- tinctes et on note l’ensemble de deux cartes obtenu. Le nombre de ti- ragespossiblesest: 6 2 22 6! 6 C .6 c. Sixpersonness’installentsurunerangéedesixsièges.Lenombrededis- positionspossiblesest: 6 2 22 6! 6 C .6 2. Uneurnecontientsixboulesindiscernablesautoucher:troisblanches,deux noiresetunerouge.Ontiresimultanément troisboulesdel’urneauhasard. a. Laprobabilitéd’obtenirtroisboulesblanchesest: 1 3 1 1 . 20 20 3 2 b. Laprobabilitéd’obtenirexactementunebouleblancheest: 1 1 9 1 . 6 3 20 2 c. Laprobabilitéd’obteniraumomsunebouleblancheest: 1 2 17 19 . 2 3 20 20 Danslaquestion3.ci-dessous,touteslesréponsesdevrontêtrejustifiées. 3. Unélèvearéponduauhasardetdefaçonindépendanteauxsixquestionspré- cédentes. a. Quelleestlaprobabilitéqu’ilaitaumoinsuneréponseexacte? b. Quelleestlaprobabilitéqu’ilaitexactementcinqréponsesexactes? EXERCICE 2 5points La courbe tracée sur la feuille annexe a été tracée à l’aide d’un ordinateur. Elle re-³ ´→− →− présente,dansunplanmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  ,unefonction f : • définieetdérivablesur]−2;+∞[, • monotonesur]−2; 0]etsur[0;+∞[, • ayantpourlimite−∞quandx tendvers−2etquandx tendvers+∞. Onadmetque: • A,BetCsontdespointsdecettecourbe,BaccalauréatLspécialité L’année2004 • latangenteaupointApasseparlepointE, • latangenteaupointBestparallèleàl’axedesabscisses. 1. Danscettequestion,ondonneralesrésultatssansjustification,ens’appuyant surl’observationdugraphiqueetlesindicationsfourniesparletexte. ′ ′a. Déterminer f(−1), f(0), f(2), f (−1)et f (0). ′b. Donnerlesignede f (x),puisceluide f(x).£ ¤22. Ondéfinitsur]−2;+∞[lafonctiong parg(x)= f(x) . a. Calculerg(−1), g(0), g(2). b. Déterminer lim g(x)et lim g(x). x→−2 x→+∞ x>−2 ′ ′ ′c. Sachant que g (x)=2f (x)f(x), étudier le signe de g (x) puis dresser le tableaudevariationsdeg enindiquantleslimites. 3. Tracer sur la feuille annexe, qui sera remise avec la copie, une courbe repré- sentatived’unefonctionsatisfaisantauxrésultatsobtenusprécédemmentpour lafonctiong. PROBLÈME 11points Onprendrasoindefairefigurersurlacopielescalculsintermédiairesconduisantaux résultatsprésentés. Onconsidèrelafonction f définiesurRpar 3 1 −x −2xf(x)=x+ − =x+3e −e . x 2xe e On noteC la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-³ ´→− →− normal O, ı ,  . PartieA:étuded’unefonctionauxiliaire −x −2xLafonction g estdéfiniesurRparg(x)=1−3e +2e x x(e −1)(e −2) 1. Montrerque,pourtoutréelx, g(x)= . 2xe 2. Étudierlesignedeg(x)suivantlesvaleursdex. PartieB:étudedelafonction f ′1. Montrerque,pourtoutréelx, f (x)=g(x).Endéduireletableaudevariations de f surR. 2. a. Déterminer lim f(x). x→+∞ −2x xb. Enécrivant f(x)souslaforme f (x)=x+e (3e −1),déduire lim f(x). x→−∞ 3. a. Déterminer lim [f(x)−x].Interprétergraphiquementcerésultat. x→+∞ b. OnnoteDladroited’équationy=x.ÉtudierlapositiondeC parrapport àD. 4. Montrer que, sur l’intervalle [−1 ; 0], l’équation f(x)= 0 admet une unique −2solutionα.Donnerunencadrementdeαd’amplitude10 . 5. ConstruirelacourbeC etladroiteD sur unefeuille depapier millimétré (on prendra comme unité graphique 1cm sur chaque axe et on se limitera à l’in- tervalle[−1,5; 4]. 26. OnnoteA l’aire,encm delapartieduplandélimitée parlacourbeC l’axe1 2desabscissesetlesdroitesd’équationx=0etx=4.OnnoteA l’aire,encm ,2 dutriangledesommetsO(0;0),M(4;0),N(4;4). France 4 septembre2003BaccalauréatLspécialité L’année2004 Z Z4 4 a. VérifierqueA = f(x)dx etendéduirequeA −A = [f(x)−x]dx.2 1 2 0 0 b. DéterminerA −A (ondonneralavaleurexacte,puislavaleurdécimale1 2 arrondieaucentième). France 5 septembre2003BaccalauréatLspécialité L’année2004 Feuilleannexeàrendreaveclacopie Exercice2:courbereprésentativede f (lespointsA,B,CetEontdescoordonnéesentières) 11 10 9 8 7 6 5 4 E3 2 B1 →−  C0 →−-3 -2 -1A O 0 1 2 3 4 5 6 7 ı -1 -2 -3 -4 -5 France 6 septembre2003[BaccalauréatsérieLNouvelle-Calédonienovembre 2003\ Duréedel’épreuve:3heures LecandidatdoittraiterTROISexercices:le1,le2etle3oule4 EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 5points Danslesystèmed’identificationdesproduitsparcodesbarres, un code est une succession de 12 chiffres. Il est précédé d’un treizièmechiffreappelé clédecodeetqui sertàlavérification delabonnesaisieducode. 4 018474 332 18 9 Uncodeàbarresestsymboliséparletableau: R C C C C C C C C C C C C1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 RestlacléducodeetC ,C ,...,C sontleschiffresducode.1 2 12 R, C ,C ,...,C sontdoncdesentierscomrisentre0et9.1 2 12 Leschiffresderangimpair(C , C ,..., C )sontdanslescasesgrisées,ceuxderang1 3 11 pairdanslescasesblanches. LacléRestcalculéedetellesortequelarelationsuivantesoitvérifiée: 3×(sommedeschiffresderangimpair)+(sommedeschiffresderangpair)+R≡0 (modulo10) 1. Surl’étiquetteimpriméeplushautonaR=4, C =0,C =1etc.1 2 Vérifierquelecodedel’étiquettenecontientpasd’erreur. 2. Calculerlaclécorrespondantaucodesuivant: R 5 1 6 0 3 2 4 2 1 5 3 7 3. Montrerquelesdeuxcodessuivantscorrespondentàlamêmeclé: R c 7 0 4 1 5 6 3 6 6 2d R cd 7 0 4 1 5 6 3 6 6 2 4. Surl’étiquetteci-dessous,l’undeschiffresaétéeffacéetremplacéparlalettre a. Retrouvercechiffre. 8 a3 9 9 4 2 2 0 0 3 4 1 5. Lesdeuxpremierschiffres,b etc,del’étiquetteci-dessousontétéeffacés. 1 cb 9 3 6 7 3 5 8 0 2 1 Montrerque:c≡−3b−1 (modulo10). Endéduirelesvaleurspossiblesducouple(b, c). EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 8points Onrappelleque:BaccalauréatLspécialité L’année2004 x– lafonctionexponentiellesenoteindifféremment(x7!exp(x))ou(x7!e ).¡ ¢ ¡ ¢ kx kx– sik estuneconstanteréelle,lafonctiondérivéede x7!e est x7!ke . PartieA On administre quotidiennement un médicament à une population de 1000 souris malades. Au bout d’une semaine, on fait un test et on remarque que 6% des souris ne pré- sententpluslamaladie. Onrecommenceletestpendantquelquessemainesetonobtientletableausuivant: Nombredesemainesécoulées 0 1 2 3 4 Nombredesourismalades 1000 940 884 831 781 1. Montrer en considérant les résultats du tableau, que les nombres de souris encoremalades aprèsn semaines detraitement (06n64) sont approxima- tivement égaux aux cinq premiers termes d’une suite géométrique dont on −2détermineralaraisonà10 près. 2. Ainsi,pourchaquesemaine,onsupposeque6%dessourisencoremaladesà lafindelasemaineprécédenteontguériaucoursdelasemaine. Pour tout entier naturel n on note u le nombre de souris encore maladesn aprèsn semainesdetraitement.Onadonc:u =1 000.0 Montrerquelasuite(u )estgéométriqueetque,pourtoutentiern,n nu =1 000×(0,94) .n PartieB xln(0,94)1. Onconsidèrelafonction f définiesur[0;+∞[par: f(x)=1 000e . a. Vérifierque: f(0)=u , f(1)=u , f(2)=u .0 1 2 n nln(0,94)b. Montrerque,pourtoutentiernatureln, (0,94) =e etendéduire que: f(n)=u .n 2. Ondécided’utiliser lafonction f pour modéliser lenombredesourisencore malades après une durée x exprimée en semaines (x n’est pas forcément un nombreentierdesemaines). µ ¶ µ ¶ 1 365 a. Donnerunevaleurarrondieàl’entierleplusprochede f et f . 7 7 b. Endéduirelenombredesourisguériesdèslepremierjouretlepourcen- tage(arrondià1%)desourisencoremaladesaprèsunan. 3. Étudedusensdevariationsdelafonction f surl’intervalle[0;+∞[. ′a. Calculer f (x). b. Donnerunevaleurdeln(0,94)arrondieaudixièmeetendéduirelesens devariationsde f sur[0;+∞[. 4. Legraphiquefournienannexe1représentelafonction f. Déterminer graphiquement le nombreN de semaines nécessaires pour que1 le quart des souris traitées soient guéries, le nombre N de semaines néces-2 saires pour que la moitié des souris traitées soient guéries et N le nombre3 de semaines nécessaires pour que les trois quarts des souris traitées soient guéries. (On laissera les traits de construction apparents et on arrondira les valeurstrouvéesàl’unité.) 5. Onveutdéterminerplusprécisémentauboutdecombiendetempslamoitié dessourisserontguéries. ln(0,5) a. Montrerquelesolutiondel’équation f(x)=500vérifie:x= . ln(0,94) Nouvelle-Calédonie 8 novembre2003BaccalauréatLspécialité L’année2004 b. EndéduireunevaleurapprochéeaudixièmedeN etlenombredejours2 nécessairespourquelamoitiédessourissoientguéries. ANNEXE1(àrendreavectacopie)exercice2,question4 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Nouvelle-Calédonie 9 novembre2003BaccalauréatLspécialité L’année2004 Votrechoix:exercice3ouexercice4.Indiquerclairementvotrechoixsurlacopie. EXERCICE 3 7points On rappelle qu’ on note p (A) la probabilité que l’évènement A se réalise, sachantB p(A∩B) quel’évènement Bestdéjaréaliséetque:p (A)= .B p(B) Uneboîtecontient3boulesblanches(enchocolatblanc)et3boulesnoires(encho- colatnoir). Elles sont indiscernables au toucher et donc chaque boule a la même probabilité d’êtretiréequelesautres. Marieprendauhasardunebouledanscetteboîte,etcommeelle adorelechocolat noir,silabouleestnoireellelamange. Maisellen’aimepaslechocolatblanc.Silabouletiréeestblanche,ellelaremetdonc danslaboîte. Elleeffectueainsitroistiragessuccessifs. Onnote: erB l’évènement :«Labouletiréeau1 tirageestblanche»;1 erN l’évènement :«Labouletiréeau1 tirageestnoire»;1 eB l’évènement :«Labouletiréeau2 tirageestblanch