Baccalaureat 2005 mathematiques scientifique recueil d'annales

Sujets

• annales

Informations

• Publié par: aldebaran
• Nombre de lectures: 1 802
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2005\ L’intégraledeseptembre2004à juin2005 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2004 ..................... 3 Franceseptembre2004 ............................... 7 Polynésiespécialitéseptembre2004 .................12 Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................15 AmériqueduSudnovembre2004 ................... 19 Nouvelle-Calédoniemars2005 ......................23 Pondichéryavril2005 ................................26 AmériqueduNordjuin2005 .........................29 Antilles-Guyanejuin2005 ........................... 34 Asiejuin2005 ........................................37 Centresétrangersjuin2005 ..........................41 Francejuin2005 ..................................... 45 LaRéunionjuin2005 .................................51 Libanjuin2005 .......................................56 Polynésiejuin2005 .................................. 61L’intégrale2005 2[BaccalauréatSAntilles–Guyaneseptembre2004\ EXERCICE 1 5points Soit f lafonctiondéfiniesur[0; +∞[par −x+2 f(x)=xe . Lesdeuxpartiespeuventêtreabordéesindépendamment. PartieA 1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; +∞[ et déterminer les éven- tuellesasymptotesdelacourbereprésentative. 2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbesdela fonction f et dela fonction logarithme népérien; on noteraL cette dernière.Conjecturer aveccegraphiquelenombredesolutionsdel’équation f(x)=ln(x) sur[1; +∞[. ∗b. Montrerquelafonction g définiesurR par:+ g(x)=ln(x)−f(x) eststrictementcroissantesur[1; +∞[. Endéduirequel’équation f(x)=ln(x)admetuneuniquesolutionαsur [1; +∞[. −3c. Déterminerà10 prèsunevaleurapprochéedeα. PartieB 1. Àl’aided’unedoubleintégrationparparties,déterminer:Z3 2 −2xI= x e dx. 0 2. On définit le solideS obtenu par révolution autour l’axe (Ox) de la courbe d’équation y = f(x) pour 06 x6 3 dans le plan (xOy) (repère orthonormal d’unité4cm).OnrappellequelevolumeV dusolideestdonnépar:Z3 2 V =π [f(x)] dx. 0 a. ExprimerV enfonctiondeI. 3b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm près du volume du so- lide. EXERCICE 2 5points Dansleplanorientémunid’unrepèreorthonormaldirect,onconsidèreABCuntri- ′angledirectsurlequelonconstruitextérieurementtroistriangleséquilatérauxBCA , ′ ′ACB et ABC . On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravités ′ ′ ′respectifsdestrianglesBCA ,ACB etABC .BaccalauréatS L’intégrale2005 ′• B A Q•′ • •C •R •B • C • P • ′A ′ ′ ′ ′ ′On note a, b, c, a , b , c , p, q et r les affixes respectives des points A,B, C, A , B , ′C ,P,QetR. ′1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C est l’image de A dansunerotationd’angledemesuredontonpréciseralecentre. ′ ′ ′b. Montrerquea +b +c =a+b+c. 2. Endéduirequep+q+r =a+b+c. ′ ′ ′3. EndéduirequelestrianglesABC,A B C etPQRontmêmecentredegravité. 4. Montrerque: ′ ′3(q−p)=(b −c)+(c−a )+(a−b). Onadmettraque,demême: ′ ′3(r−p)=(a−c)+(b−a )+(c −b). 5. Justifierleségalitéssuivantes: π π πi ′ ′ i ′ ′ i3 3 3a−c=e (b −c); b−a =e (c−a ); c −b=e (a−b). 6. Déduiredesquestions4.et5.queletrianglePQRestéquilatéral. EXERCICE 3(OBLIGATOIRE) 5points³ ´→− →− O, u , v estunrepèreorthonormalduplanP. SoitAlepointd’affixe1;soitBlepointd’affixe−1. SoitF l’applicationdeP privédeOdansP qui,àtoutpointM distinctdeO,d’affixe −1′ ′z ,associelepointM =F(M)d’affixez = . z πi ′31. a. Soit E le point d’affixe e , on appelle E son image par F. Déterminer ′l’affixedeE sousformeexponentielle,puissousformealgébrique. b. OnnoteC lecercledecentreOetderayon1.Déterminerl’imagedeC1 1 parl’applicationF. 5πi ′62. a. Soit Kle point d’affixe2e et K l’image deKparF.Calculer l’affixe de ′K . b. SoitC lecercledecentreOetderayon2.Déterminerl’imagedeC par2 2 l’applicationF. iθ3. On désigne par R un point d’affixe 1+e où θ ∈]−π ; π[; R appartient au cercleC decentreAetderayon1.3 z−1′a. Montrerquez +1= . z¯ ¯ ¯ ¯′ ′¯ ¯ ¯ ¯Endéduireque z +1 = z . Antilles-Guyane 4 septembre2004BaccalauréatS L’intégrale2005 iθb. Si on considèremaintenant les points d’affixe 1+e oùθ décritl’inter- valle]−π; π[,montrerqueleursimagessontsituées surunedroite.On pourrautiliserlerésultatdea.. EXERCICE 3(SPÉCIALITÉ) 5points Pourchacunedessixaffirmations,diresielleestvraieousielleestfausse,enjusti- fiantlechoixeffectué. 1. LePGCDde2004et4002est6. pq p2. Sip etq sontdeuxentiersnaturelsnonnuls,2 −1estdivisiblepar2 −1et qpar2 −1. ∗ n3. Pourtoutn deN , 2 −1n’estjamaisdivisiblepar9. 4. L’ensembledescouplesd’entierssolutionsdel’équation: 24x+35y=9 estl’ensembledescouples: (−144+70k ; 99−24k) oùk∈Z. 5. SoientAetBdeuxpointsdistinctsduplan;sionnote f l’homothétiedecentre 1 Aetderapport3etgl’homothétiedecentreBetderapport alorsg◦f estla 3−−→ translationdevecteurAB.. ′6. Soit s la similitude d’écriturecomplexe z =iz+(1−i),l’ensemble despoints invariantsdes estunedroite. EXERCICE 4 5points Pourchacunedestroisquestions,latotalitédespointsseradonnéesilaréponseest correctementjustifiée. Lestroisquestionssontindépendantes. 1. Laprobabilitépourunindividud’unepopulationd’êtreatteintd’unemaladie Mestégaleà0,003.Untestdedépistage,pourcettemaladie,aétéréalisé;avec cetest,onpeutdireque • siunepersonneestatteintedelamaladieM,letestestpositifdans50%des cas; • letestestpositifpour3%despersonnessaines. Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est positif?  0,95  0,9  0,15  0,05 2. Onconsidèreuneplancheàclousdecetype: B clou0,3 0,7 R R R R1 2 3 4 On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des quatre récipients notés R ,R , R et R .À chaque étape, la bille a une proba-1 2 3 4 bilitéde0,3 d’allerverslagaucheet0,7d’aller versladroite(gaucheetdroite Antilles-Guyane 5 septembre2004BaccalauréatS L’intégrale2005 relativesàl’observateur). Onnote p la probabilitéque la bille tombe danslebac R oudansle bacR1 1 3 etp laprobabilitéquelabilletombedanslebacR oudanslebacR .2 2 4 Quevalentp etp ?1 2  p =p =0,5  p =0,216etp =0,7841 2 1 2  p =0,468etp =0,532  p =0,468et p =0,432.1 2 1 2 3. Les1 000premièresdécimalesdeπsontdonnéesiciparunordinateur: 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234 8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964 4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914 5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737 2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367 8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943 3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480 7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129 8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986 0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320 0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721 4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354 2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605 1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599 0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017 1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035 9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781 8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894 En groupantpar valeurs entre0 et9 cesdécimales, on obtient letableau sui- vant: Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106 Avecuntableur,onasimulé1 000expériencesde1 000tiragesaléatoiresd’un chiffrecomprisentre0et9. k=9X¡ ¢22Pour chaque expérience, on a calculé d = f −0,1 où f représente,k k k=0 pourl’expérience,lafréquenceobservéeduchiffrek. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d et d ), le premier et troisième quartile (Q etQ ) et la1 9 1 3 médiane(Me): d =0,000422;Q =0,000582; Me=0,000822; Q =0,001136; d =0,00145.1 1 3 9 En effectuant le calcul de d sur la série des 1 000 premières décimales deπ,2 onobtient:  0,000 456  0,004 56  0,000 314 Unstatisticien découvrant letableauetignorant qu’ils’agitdesdécimales de π,faitl’hypothèsequelasérieestissuedetiragesaléatoiresindépendantssui- vantuneloiéquirépartie.Ilprendunrisquede10%derejetercettehypothèse quandelleestvraie.Accepte-t-ilcettehypothèse?  Oui  Non  Ilnepeutpasconclure. Antilles-Guyane 6 septembre2004Durée:4heures BaccalauréatSFranceseptembre2004 L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée. Dupapiermillimétréestmisàladispositiondescandidats. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.Danschaqueexercice,lecandidatpeutadmettreunrésultatprécédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairementsurlacopie. EXERCICE 1 4points Communàtouslescandidats 1. Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalle]1; +∞[par: 1¡ ¢g(x)= . 2x x −1 a. Déterminerlesnombresréelsa, b etc telsquel’onait,pourtout x>1: a b c g(x)= + + . x x+1 x−1 b. TrouveruneprimitiveG deg surl’intervalle]1; +∞[. 2. Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]1; +∞[par: 2x f(x)= .¡ ¢22x −1 TrouveruneprimitiveF de f surl’intervalle]1; +∞[. 3. Enutilisantlesrésultatsobtenusprécédemment,calculer: Z3 2x I = lnxdx.¡ ¢222 x −1 Ondonneralerésultatexactsouslaformepln2+qln3,avecp etq rationnels. EXERCICE 2 6points Communàtouslescandidats L’exercicecomporteuneannexe,àrendreaveclacopie. Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle y x]0;+∞[,lescouplessolutionsdel’équationx =y (E)et,enparticulier,lescouples constituésd’entiers. lnx lny 1. Montrerquel’équation(E)estéquivalenteà = . x y 2. Soith lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0; +∞[par lnx h(x)= . x La courbeC représentative de la fonction h est donnée en annexe; x est0 l’abscissedumaximumdelafonctionh surl’intervalle]0; +∞[. a. Rappeler la limite de la fonction h en+∞ et déterminer la limite de la fonctionh en0.BaccalauréatS L’intégrale2005 ′ ′b. Calculerh (x),oùh désignelafonctiondérivéedelafonctionh;retrou- verlesvariationsdelafonctionh. Déterminerlesvaleursexactesdex etdeh(x ).0 0 c. Déterminerl’intersectiondelacourbeC avecl’axedesabscisses.¸ · 1 3. Soitλunélémentdel’intervalle 0; .