Baccalaureat 2005 mathematiques specialite scientifique antilles

Description

BaccalauréatSAntilles–Guyanejuin2005EXERCICE1 5pointsCandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité →− →−O, u , v estunrepèreorthonormalduplanP.SoitAlepointd’affixe1;soitBlepointd’affixe−1.Soit F l’application deP privédeOdansP quiàtoutpoint M d’affixe z distinctde−1 OassocielepointM =F(M)d’affixez = .zπi 31. a. SoitElepointd’affixee ; on appelle E son image par F. Déterminerl’affixede E sousformeexponentielle, puissousformealgébrique.b. OnnoteC lecercledecentreOetderayon1.Déterminerl’imagedeC1 1parl’application F.5πi 62. a. SoitKlepointd’affixe2e et K l’imagedeKpar F.Calculer l’affixede K .b. SoitC lecercledecentreOetderayon2.Déterminerl’imagedeC par2 2l’application F.iθ3. OndésigneparR unpointd’affixe1+e oùθ∈]−π; π[.R appartientaucercleC decentreAetderayon1.3z−1a. Montrerque z +1= .z Endéduireque: z +1 = z .iθb. Sionconsidèremaintenantlespointsd’affixe1+e oùθ∈]−π; π[,mon-trer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser lerésultatdua..EXERCICE1 5pointsCandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité1. a. Déterminersuivantlesvaleursdel’entiernaturelnonnuln lerestedansnladivisioneuclidiennepar9de7 .2005b. Démontreralorsque(2005) ≡7(9).n2. a. Démontrerquepourtoutentiernaturelnonnul n : (10) ≡1(9).b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S lasommedeseschiffres.Démontrerlarelationsuivante: N ≡S (9).c. Endéduireque N estdivisible par9sietseulement si S est divisible par9 ...

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Extrait

Baccalauréat S Antilles – Guyane juin 2005

E XERCICE 15 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité   −→−→ O,u,vest un repère orthonormal du planP. Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe−1. SoitFl’application dePprivé de O dansPqui à tout pointMd’affixezdistinct de −1   O associe le pointM =F(M) d’affixez=. z π i  1. a.; on appelleSoit E le point d’affixe eEson image parF. Déterminer 3  l’affixe deEsous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. b.On noteC 1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image deC 1 par l’applicationF. 5π i  6 2. a.Soit K le point d’affixe 2eetKl’image de K parF.  Calculer l’affixe deK. b.SoitC 2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image deC 2 par l’applicationF. iθ 3.On désigne parRun point d’affixe 1+e oùθ∈]−π;π[.Rappartient au cercle C 3 de centre A et de rayon 1. z−1  a.Montrer quez+1=. z      En déduire que :z+1=z. iθ b.Si on considère maintenant les points d’affixe 1+e oùθ∈]−π;π[, mon trer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat dua.. E XERCICE 15 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 1. a.Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nulnle reste dans n la division euclidienne par 9 de 7. 2005 b.Démontrer alors que (2005)≡7 (9). n 2. a.Démontrer que pour tout entier naturel non nuln: (10)≡1 (9). b.On désigne parNun entier naturel écrit en base dix, on appelleSla somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante :N≡S(9). c.En déduire queNest divisible par 9 si et seulement siSest divisible par 9. 2005 3.On suppose queA=on désigne par :(2005) ; –Bla somme des chiffres deA; –Cla somme des chiffres deB; –Dla somme des chiffres deC. a.Démontrer la relation suivante :A≡D(9). b.Sachant que 2005<10 000,démontrer queAs’écrit en numération déci male avec au plus 8020 chiffres. En déduire queB  72 180. c.Démontrer queC  45. d.En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant deDplus petit que 15. e.Démontrer queD=7.