Baccalaureat 2006 genie mecanique, electronique, electrique et arts appliques s.t.i (genie mecanique)

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[BaccalauréatSTI2006\ L’intégraledeseptembre2005àjuin 2006 Antilles-GuyaneGénieélectroniqueseptembre2005 ...3 Antilles-GuyaneGéniedesmatériauxseptembre2005 ..8 Nouvelle–CalédonieGéniemécaniquenovembre2005 11 Nouvelle–CalédonieGénieélectriquenovembre2005 .14 Nouvelle–CalédonieGéniemécaniquemars2006 .....17 AntillesGénieélectroniquejuin2006 ...................19 FranceArtsappliquésjuin2006 .........................23 FranceGénieélectroniquejuin2006 ....................25 FranceGéniemécanique,civiljuin2006 ................29 LaRéunionGénieélectroniquejuin2006 ...............32 LaRéunionGéniedesmatériauxjuin2006 .............36 PolynésieGéniemécaniquejuin2006 ..................40 PolynésieGénieélectroniquejuin2006 .................43L’intégrale2006 2Durée:4heures [BaccalauréatSTIGénieélectroniqueAntilles\ septembre2005 EXERCICE 1 5points Unprofesseurd’EducatiorsPhysiqueetSportives’adresseàungroupedevingtélèves ausujetdeleursloisirsintérêtpourlefootballdanslapratiquedecesportoucomme spectacleàlatélévision. Parmicesvingtélèves,onsaitquequinzeregardentdesmatchesàlatelevision,huit pratiquentcesportetcinqfontlesdeux. 1. Montrerquedeuxélèvesdanscegroupenes’intéressentaufootballnidansla pratique,niàlatélévision. 2. Unélèvedecegroupeestchoisiauhasard. a. Quelleestlaprobabilitéqu’ilnes’intéresseaufootballnidanslapratique niniàlatélévision? b. Quelleestlaprobabilitéqu’ils’intéresseaufootballàlatélévisionsansle pratiquer? 3. Oninterrogeauhasardunélèvequiregardelesmatchesàlatélévision. Quelleestlaprobabilitéqu’ilpratiquelefootball? 4. On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves. Une urne com- porte20jetonsaveclesnumérosenquestion. Ontiredeux fois auhasardonjeton enle remettant dansl’urne après lepre- miertirage. Àchaquetirage,l’élèvedésignégagneunbilletd’entréeaumatchdesonchoix àconditionqu’ilpratiquelefootballetlesuiveàlatélévision. a. Déterminerlenombretotaldetiragesdedeuxjetons. b. Déterminerlenombretotaldetiragespermettantd’obtenirdeuxbillets, SoitXlavariablealéatoiredéfinieparlenombredebilletsgagnants. c. DéfinirlaloideprobabilitédeXetsonespérancemathématique. EXERCICE 2 4points Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Pourchacunedesquatrequestions suivantes,au moins une réponse estexacte.Indiquer la (ou les) réponse(s)exacte (s) survotrecopie.Aucunejustificationn’estdemandée. ′1. Onconsidèrel’équationdifférentielley =−2+lnx.Parmilescourbesci-dessous, où la droite T représente chaque fois la tangente à la courbe considérée au point d’abscisse1,quelle estcelle susceptible dereprésenter unesolution de cetteéquationdifférentielle?BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006 2 1 ~ 2e0 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14~ı0 1-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 T -10 -11 -12a. 2 1 2~ e0 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14~ı0 1-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 T -10 -11 -12b. Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006 2 1 ~ 2e0 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14~ı0 1-1 -2 -3 -4 T -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12c. ³ ´→− →− 2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct O, ı ,  , on considèrelespointsAetBd’affixesrespectives Z =−1+ietZ =I+i.A B ′On appelleC le cercle de centreA et de rayonIetC le cercle de centreB et derayonI. à !p p n 2 2 Soitn unentiernaturelnonnuletZ = − − i .n 4 4 Pour quelles valeurs de n, parmi celles proposées ci-dessous, l’image de Zn appartient-elleaudomainegrisé? 3 2 ′C C A B1→− v 0 →−-3 -2 -1 O 0 1 2 3 u -1 a. n=1. b. n=2. c. n=3. 3. Lasolutionparticulière f,définiesurR,del’équationdifférentielle ′′y +9y=0 p ′telleque f(π)=− 3et f (π)=3est:p a. f(x)= 3cos(3x)−sin(3x).p b. f(x)=− 3cos(3x)+3sin(3x).³ ´ ³ ´px x c. f(x)=3sin + 3cos . 3 3 Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006 2x4. Soit f lafonctiondéfiniesurRpar f(x)=e . Lavaleurmoyenne¹delafonction f surl’intervalle[ln5; ln10]est: 2ln2 a. ¹= . 75 75 b. ¹= . 2ln5 75 c. ¹= . ln4 PROBLÈME 11points PartieA Onconsidèrelafonctiong définiesurl’intervalle]0;+∞[par: 2 g(x)=x +1−2lnx. ′1. Ondésigneparg lafonctiondérivéedeg. ′Déterminerg (x)etétudiersonsignesurl’intervalle]0;+∞[. 2. Dresserletableaudevariationsdelafonctiong. (L’étude deslimites auxbornesdel’ensemble dedéfinition n’est pasdeman- dée.) 3. Calculerg(1).Endéduirequeg eststrictementpositivesurl’intervalle]0; +∞[. PartieB Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[,par: µ ¶ 1 f(x)= 1+ lnx. 2x³ ´→− →− Leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı ,  d’unitésgraphiquesgraphiques 2cmsurl’axedesabscisseset4cmsurl’axedesordonnées. On désigne parC la courbe représentative de f et parΓ la courbe d’équation y= lnx. 1. Déterminerlalimitedelafonction f enzéro.Quepeut-onendéduirepourla courbeC ? 2. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞. ′3. Ondésignepar f lafonctiondérivéede f. a. Montrerque,pourtoutréelx strictementpositif: g(x)′f (x)= . 2x ′b. étudierlesignede f (x)etdresserletableaudevariationsdelafonction f. 4. Ondéfinitsurl’intervalle]0;+∞[,lafonctionh par: h(x)= f(x)−lnx. a. Déterminerlalimiteen+∞delafonctionh. b. étudierlesignedelafonctionh surl’intervalle]0;+∞[. EndéduirelapositionrelativedelacourbeC etdelacourbeΓ. 5. Détermineruneéquationdelatangente¢àlacourbeC aupointAd’abscisse 1. ³ ´→− →− 6. TracerlescourbesC,Γetladroite¢danslerepère O, ı ,  . Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatSTIGénieélectrotechnique,génieoptique L’intégrale2006 PartieC 1. SoitH lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[,par: µ ¶ 1+lnx H(x)=− . x MontrerqueH estuneprimitivedeh surl’intervalle]0;+∞[. 2. Soitαunnombreréelstrictementsupérieurà1. 2Calculer l’aireA(α),encm ,dudomaine limité parlacourbeC,lacourbeΓ etlesdroitesd’équationsx=1etx=α. 3. DéterminerlalimitedeA(α)quandαtendvers+∞. Antilles-Guyane 7 septembre2005[BaccalauréatSTIAntilles-Guyaneseptembre2005\ Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E EXERCICE 1 4points Danstout cet exercice, on note g la fonction numérique définie pour tout nombre réelx,par: ³ ´πx g(x)=sin − . 2 3 1. Soit(E)l’équationdifférentielle: ′′4y =−y, où y estunefonctiondelavariableréellex. a. Donnerlasolutiongénéraledel’équationdifférentielle(E). b. Onnote f lasolution particulière del’équation différentielle (E)quivé-p 3 1′rifie: f(0)=− et f (0)= . 2 4 Démontrerquelafonction f estégaleàlafonctiong.· ¸ 2π 14π 2. Soir¹lavaleurmoyennedelafonctiong surl’intervalle ; . 3 3 a. Calculer¹. b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant des valeurs exactes: 2π 5π 8π 11π 14π x 3 3 3 3 3 x π− 2 3³ ´x π sin − 2 3 c. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on noteC la courbe repré-· ¸ 2π 14π sentativedelafonctiong surl’intervalle ; . 3 3 TracerlacoucheC. d. Lavaleurde¹trouvéeena.est-ellecohérenteaveclegraphiqueeffectué enc? Pourquoi? EXERCICE 2 4points Unjeuconsisteàtirerunebouledansuneurnequicontientdesboulesrouges,des boulesvertesetdesboulesnoires. Larègledujeuindiqueque: • silabouletiréeestrouge,l’organisateurdujeudonneIeaujoueur • silabouletiréeestverte,l’organisateurdujeudonne2eaujoueur • silabouletiréeestnoire,l’organisateurdujeudonne0,50eaujoueur. Onadmetque.lorsdechaquetirage.touteslesboulesontlamêmeprobabilitéd’être tirées. Onnote: • p laprobabilitédetirertineboulerougeR • p laprobabilitédetirerunebouleverteV • p laprobabilitédetirertineboulenoire.NBaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique L’intégrale2006 PartieA Danscettepartie,onsupposequelenombredeboulesrouges,lenombredeboules vertesetlenombredeboulesnoirescontenuesdansl’urnesonttelsque p =2p et p =2pV R R N Onrappelleque,lesboulescontenuesdansl’urneétantsoitrouges,soirvertes,soit noires,onal’égalité p +p +p =1R V N 1. Calculer p , p etp .(Donnerlesvaleursexactes.)R V N 2. Sachantquel’urnecontient3boulesnoires,calculerlenombretotaldeboules contenues dansl’urne,ainsiquelenombredeboulesrougesetlenombrede boulesvertescontenuesdansl’urne. 3. Soit Xla variable aléatoire qui à chaque tirage d’une boule associe la somme reçueparlejoueur. a. DonnerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireX,puis calculerl’es- pérancemathématiqueE(X)delavariablealéatoireX. b. Sil’organisateurdujeuvendait1,50eunticketdonnantledroitd’effec- tuer en tirage, quel bénéfice pourrait-il espérer avoir réalisé à l’issue de 1 000jeux. PartieB PROBLÈME 12points³ ´→− →− Leplanestrapporteàunrepèreorthogonal O, ı ,  (unitésgraphiques:2cmsur l’axedesabscisseset1cmsurl’axedesordonnées). PartieA-Étuded’unefonctionauxiliaire Soieg lafonctionnumériquedéfiniepourtoutréelx strictementpositif,par: 2g(x)=2x +1−lnx. ′1. Onnommeg lafonctiondérivéedelafonctiong. ′Calculer g (x)pourtoutréelx strictementpositif. ′2. a. étudierlesignedeg (x)surl’intervalle]0;+∞[etdonnerletableaudes variationsdelafonctiong (leslimitesen0eten+∞nesontpasdeman- dées). µ ¶ µ ¶ 1 1 b. Préciserlavaleurexactedeg etendéduirelesignedeg . 2 2 c. Donnerlesignedeg(x)surl’intervalle]0;+∞[. PartieB-Étuded’unefonctionettracédesacourbereprésentative Soit f lafonctionnumériquedéfiniepourtoutréelx strictementpositif,par lnx f(x)=2x+1+ . x³ ´→− →− Onnotesacourbereprésentativedanslerepère O, ı ,  . 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en 0. Donner une interprétation graphiquedecerésultat. b. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞. ′2. a. Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f. Montrerque,pourtoutréelx del’intervalle]0;+∞[. g(x)′f (x)= , 2x oùg estlafonctiondéfiniedanslapartieA. Antilles-Guyane 9 septembre2005BaccalauréatSTIGéniedesmatériaux,mécanique L’intégrale2006 b. Donnerletableaudesvariationsdelafonction f. 3. Onnommeαl’uniquesolutiondel’équation f(x)=0surl’intervalle]0;+∞[. a. àl’aided’unecalculatrice,donnerlavaleurapprochéedécimaledeαar- −2rondieà10 . b. Préciser,dansuntableau,lesignede f(x)pourx réelstrictementpositif.³ ´→− →− 4. a. OnnommeD ladroited’équation y=2x+1danslerepère O, ı ,  . MontrerqueladroiteD estasymptoteàlacourbeC en+∞. b. LadroiteD etlacourbeC secoupentaupointI. DéterminerlescoordonnéesdupointI. c. étudierlapositionrelativedelacourbeC etdeladroiteD. 5. DétermineruneéquationdeladroiteT quiesttangenteàlacourbeC enson pointd’abscisse1. 6. Surunmêmegraphique,pla