Baccalaureat 2006 mathematiques s.t.i (arts appliques) semestre 2

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• Publié par: aldebaran
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BaccalauréatSTIArtsappliqués–France juin2006 Coefficient : 2 Durée: 2heures L’usage d’une calculatrice réglementaire est autorisé durantl’ensemble de l’épreuve. Le formulaire officiel demathématiques est joint au sujet. EXERCICE1 8points
 →− →− Dansun repèreorthonormal O, ı ,  on adessiné une ellipseE desommets :  A(4; 0) A (−4;0) B(0;3) et B(0; −3) 3 B 3 2 2 1 1 A A0 -4 -3 -2 -1 0O 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1234 -1 −1 -2 −2 -3 −3 B
 2 2 →− →− x y 1. Montrerqu’une équation decette ellipse dans O, ı ,  est : + =1. 16 9 2. Construire géométriquement les deux foyers F et F puis calculer leurs coor- données exactes. 3. Pourtout point M del’ellipseE,par quelle relation MFetMF sont-ils liés? 4. Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points deE d’ordonnée2. 5. Les sommets d’un rectangle de centre O sont des points de l’ellipseE et ses côtés sont parallèles aux axes. Quelle doit être la longueur du côté horizontal  decerectanglepour quesahauteur soitégaleà2 7? EXERCICE2 12points Pourlaconstructiond’unstandd’exposition, desétudiantsenBTSEVEContbesoin de créer une rampe d’accès reliant le plancher du stand au sol du hall d’exposition.BaccalauréatSTIArtsappliqués Une rampe plane ne pouvant permettre l’accès aux fauteuils roulants, les élèves de BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment [OA]parlacourbeC quifaitl’objet duproblèmesuivant. A Plancherdustand 1m Sol du hall O 4m
 →− →− On choisit le repère orthonormé O, ı ,  dans lequel le point A a pour coordon- nées (4; 1) etC la courbe représentative de la fonction f définie que l’intervalle [0; 4] par :  1 3 2 f (x)= −x +6x . 32 1. Vérifierque O etA sont bien surla courbeC. −3  2. a. Calculer la fonction dérivée f de f . Montrerque f (x)= x(x−4). 32 b. Étudier le signe de f (x) sur [0; 4]. Donner ensuite le tableau de varia- tions de f sur[0; 4].  3. a. Calculer f (0) et f (4). Donner une interprétation graphique de ces ré- sultats. b. Quel est le coefficient directeur de la tangente àC au point I d’abscisse 2? 4. a. Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au centième). x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 f (x) 0,96 b. On prendra comme unité graphique 5 cm. Représenter sur une feuille depapiermillimétré lacourbeC ainsique lestangentes auxtroispoints d’abscisses 0, 2 et 4. 5. a. Détermineruneprimitive F dela fonction f surl’intervalle [0; 4]. b. On noteS la partie située entre la courbeC, l’axe des abscisses et la droited’équation x=4. Calculer l’aire deS (enunités d’aires). 2c. Onprécisequ’uneunitéd’airesurlegraphiquecorrespondà1m enréa- lité. Sachant que le stand a une largeur de 4 m, quel volume de béton devra-t-on utiliser pour construire la rampe d’accès? La formule don- nant ce volume est V = B ×h où V est le volume, B l’aire de la partie correspondantà lapartieS dugraphique et h la largeurdu stand. France 2 juin2006