Baccalaureat 2006 mathematiques scientifique recueil d'annales

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BaccalauréatS2006 L’intégraledeseptembre2005àjuin 2006 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2005 .....................3 Franceseptembre2005 ...............................6 Polynésiespécialitéseptembre2005.................10 Nouvelle-Calédonienovembre2005 ................14 AmériqueduSudnovembre2005 ...................18 Pondichéryavril2006 ................................23 AmériqueduNordjuin2006 .........................27 Antilles-Guyanejuin2006 ...........................32 Asiejuin2006 ........................................36 Centresétrangersjuin2006 ..........................41 Francejuin2006 .....................................46 LaRéunionjuin2006 ................................49 Polynésiejuin2006 ..................................55L’intégrale2006 2
BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2005 EXERCICE15points 1 Lasuite(u )estdéfinieparu =1et∀n∈N, u = u +−1.n 0 n+1 n 2 1. a. Démontrerquepourtoutn
3, u
0.n b. Endéduirequepourtoutn
4, u
n−2.n c. Endéduirelalimitedelasuite(u ).n 2. Ondéfinitiasuite(v )par v =4u −8n+24.n n n a. Démontrerque v estunesuitegéométriquedécroissantedontondon-( )n neralaraisonetlepremierterme.
n1 b. Démontrerque∀n∈N, u =7 +2n−6.n 2 c. Vérifier que ∀n ∈N, u = x +y où (x ) est une suite géométrique etn n n n   y une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premiern termeetlaraison. n  d. Endéduirel’expressiondeS = u enfonctionden.n k k=0 EXERCICE24points Soit f lafonctiondéfiniesur]0 ; +∞[par 2lnx f(x)= . 2x +x lnx lnx 1. Montrerquepourtoutx>1,  f(x) . 2x x  4 4lnx lnx 2. a. Calculer I = dx et J = dx (on pourra utiliser une intégra- 2x x2 2 tionparpartiespourcettedernière). 4 b. EndéduireunencadrementdeK= f(x)dx. 2 3. Lafigureci-dessousreprésentelacourbereprésentativede f (unitésgraphiques: enabscisse1cmpour1unité,enordonnées4cmpour1unité).Onconsidère l’ensemble despoints M(x ; y)telsque:  2  x  4 etonnoteA sonaire. 0  y  f(x) y 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x -0,1-2 -1 1234 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5BaccalauréatS 2Àl’aidedel’encadrementtrouvéau2b,donnerunencadrementdeA encm . EXERCICE34points  →− →− SoitP leplancomplexerapportéaurepère O, u , v (unitégraphique:4cm).Soit Alepointd’affixe1.Onnote f l’applicationdeP privédeAdansP qui,àoutoint  M d’affixe z,associelepoint M d’affixe z telleque 1 z = . z−1  1. a. Soit B le point d’affixe b =4+i 3.Déterminerlaformealgébriqueetla  formeexponentielle del’affixeb deB . b. Déterminerlesaffixesdespointsayantpourimagepar f leursymétrique parrapportàO.     2. a. Exprimer z etarg z enfonctionde|z−1|etarg(z−1). b. SoitC lecercledecentreAetderayonr.OnsupposequeMestunpoint  deC.Déterminer z .  Endéduireque M appartientàuncercleC dontonpréciseralecentre etlerayon. 1 c. Placerunpoint M quelconque sur le cercledecentreAet derayon et 2 construìresonimageM .(Onlaisseralestraitsdeconstruction,) EXERCICE44points Onmodéliseletempsd’attenteentredeuxclientsàunguichetcmmeunevariable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Larobabiléur u clientd’attendremoinsdet minestdéfiniepar: t −λxp(Xt)= λe dx. 0 Letempsmoyend’attenteestdonnépar: t −λxlim λxe dx. t→+∞ 0 t −λx1. a. Àl’aided’uneintégration parparties, calculer λxe dx enfonction 0 det. 1 b. Endéduirequeletempsmoyenest . λ 2. Le temps moyend’attente étant de5 min, quelle est la probabilité d’attendre plusde10min?plusde5min? 3. Quelle est la probabilité d’attendre encore au moins 5 min, sachant qu’on a déjàattendu10min?Commentexpliquez-vous cerésultat? EXERCICE54points Pourcetexercice,vousrecopierezpourchaquequestion,votreréponse. Chaqueréponsejusterapporte1point.Uneabsencederéponse’estpasanctionnée. Ilseraretiré 0,5pointparréponsefausse. Lanotefinaledel’exercicenepourrapasêtreinférieureàzér.  →− →− →− Soit O, ı ,  , k unrepèreorthonormal. Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatS 1. La droite passant par A(1 ; 2 ; −4) et B(−3 ; 4 ; 1) et la droite représentée par  x =− 11−4t  y = 8+2t t ∈R sont:  z = 11+5t  sécantes strictementparallèles confondues noncoplanaires 2. Soient le planP d’équation 2x+3y −z+4=0etladroiteD représentée par  x = t  y = t t ∈R  z = 8+t  P etD sontsécants.  P etD sontstrictementparallèles.  D estinclusedansP.  Aucunedecespossibilités n’estvraie. 3. LadistancedupointA(1; 2; −4)aupland’équation2x+3y−z+4=0est:  8 14 8   16  8 14  7 7 2 2 24. SoientlepointB(−3;4;1)etlasphèreS d’équation x +y +z =16;  Bestàl’intérieurdeS  Bestàl’extérieurdeS  BestsurS  Onnesaitpas. Antilles-Guyane 5 septembre2005Durée:4heures
BaccalauréatSFranceseptembre2005 EXERCICE17points Communàtouslescandidats PartieA Lafonction f estdéfiniesurl’intervalle [0; +∞[par 1 − x2f(x)=(20x+10)e . On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonorma  →− →− O, ı ,  (unitégraphique1cm). 1. Étudierlalimitedelafonction f en+∞. 2. Étudierlesvariationsdelafonction f etdressersontableaudevariations. 3. Établir que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution strictement po- sitive α dans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner une valeur décimale approchée à −310 prèsdeα. 4. Tracer la courbeC. 3 5. Calculerl’intégraleI= f(x)dx. 0 PartieB Onnote y(t)lavaleur,endegrésCelsius,delatempératured’uneréactionchimique àl’instant t, t étantexpriméenheures.Lavaleurinitiale,àl’instant t =0,est y(0)= 10. Onadmetquelafonctionqui,àtoutréelt appartenantàl’intervalle[0; +∞[associe 1 1  − t 2y(t),estsolutiondel’équationdifférentielle (E): y + y =20e . 2 1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partieA est solution de l’équation différentielle (E)surl’intervalle [0; +∞[. 2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ; +∞[, qui prend la va- leur10àl’instant 0. a. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle (E), dé- finie sur [0 ; +∞[vérifiantg(0) = 10. Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle : (E ) 1 y + y =0. 2 b. Résoudrel’équation différentielIe(E ). c. Conclure. 3. Auboutdecombiendetempslatempératuredecetteréactionchimiqueredes- cent-elleàsavaleurinitiale?Lerésultatseraarrondiàlaminute. 4. LavaleurθendegrésCelsiusdelatempératuremoyenneàcetteréactionchi- mique durant les trois premières heures est la valeur moyenne dela fonction f surl’intervalle [0;3]. Calculerlavaleurexactedeθ,puisdonnerlavaleurapprochéedécimaledeθ arrondieaudegré.BaccalauréatS EXERCICE25points Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialié Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsespropoéesestexacte.Lecanddat indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorreondantàlaréonse choisie. Chaqueréponseexacterapporte1point,chaqueréponsefausseelève0,5point.Ue absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note e rameée à zéro. Aucunejustificationn’estdemandée.  π 1. Soit z lenombrecomplexedemodule 2etd’argument .Oaalrs: 3   14 14A:z =−128 3−128i. C : z =−64+64i 3.  14 14B:z =64−64i. D : z =−128+128i 3 2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le pointSd’affixe3etlepointTd’affixe4i.Soit(E)l’ensembledespointsM d’af- fixez telsque|z−3|=|3−4i|. A:(E)estlamédiatricedusegment[ST]; B:(E)estladroite(ST); C:(E)estlecercledecentreΩd’affixe3−4i,etderayon3; D:(E)estlecercledecentreSetderayon5. 3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur −→ −→ 1.LeproduitscalaireAC ·CF estégalà:   3 A:3B:−3C:−3D; . 2  2x −2x 4. Une fonction g est définie sur l’intervalle ]−∞;0]parg(x)= ;soit x−3 Γsacourbereprésentativedansunrepèreduplan. A:Γadmetuneasymptoted’équation y=−1. B:Γn’admetpasd’asymptote. C:Γadmetuneasymptoted’équation y =x. D:Γadmetuneasymptoted y =1. x 2 −t5. Soit la fonction f définie surR par f(x)= e dt.Lafonctionf , dérivée 0 secondedelafonction f surR,estdéfiniepar: x 2 2 −t −xA:f (x)= −2te dt.C:f (x)=−2xe . 0 x 2 2 −x −xB:f (x)= −2xe dx.D: f (x)=e . 0 EXERCICE25points Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsespropoéesestexacte.Lecanddat indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorreondantàlaréonse choisie. Chaqueréponseexacterapporte1point.Chaqueréponsefausseelève0,5point.Ue absence de réponse est comptée 0 Si le total est négatif, la note e rameée à zéro.Aucunejustificationn’estdemandée. France 7 septembre2005     BaccalauréatS 21. Onconsidèredansl’ensembledesentiersrelatifsl’équation:x −x+4≡0(modulo6). A:touteslessolutionssontdesentierspairs. B:iln’yaaucunesolution. C:lessolutions vérifientx ≡2(modulo6). D:lessvérifientx≡2(modulo6)ou x ≡5(modulo6). 2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x+34y = 2, où x et y sont des entiersrelatifs. A:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ;y)=(34k−7;5−24k), k ∈Z. B:L’équation (E)n’aaucunesolution. C:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ; y)=(17k−7;5−12k), k ∈ Z. D:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ; y)=(−7k;5k), k ∈Z. 2 0053. Onconsidèrelesdeuxnombresn=1 789etp =1 789 .Onaalors: A:n≡4 (modulo17)etp ≡0 (modulo17). B:p estunnombrepremier. C:p ≡4 (modulo17). D:p ≡1 (modulo17). 4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les pointsAetBd’affixesrespectives a etb.LetriangleMABestrectangleisocèle directd’hypoténuse[AB]sietseulement silepoint M d’affixe z esttelque: b−ia A:z =.C:a−z =i(b−z). 1−i π πi 4B:z−a=e (b−a). Db−z = (a−z). 2 5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B; on note I le milieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 2π 1 etd’angle ;soitglasimilitudedirectedecentreA,derapport etd’angle 3 2 π ;soith lasymétriecentraledecentre1. 3 A:h◦g ◦f transformeAenBetc’estunerotation. B:h◦g ◦f estlaréflexionayantpouraxelamédiatricedusegment[AB]. C:h◦g ◦f n’estpasunesimilitude. −→ D:h◦g ◦f estlatranslationdevecteurAB. EXERCICE35points Communàtouslescandidats  →− →− →− L’espaceestmunid’unrepèreorthononnal O, ı ,  , k . 1. OnconsidèreleplanP passantparlepointB(1; −2; 1)etdevecteurormal →− n (−2