Baccalaureat 2006 mathematiques specialite litteraire recueil d'annales

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[BaccalauréatLspécialité2006\ L’intégraledeseptembre2005 àjuin2006 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Franceseptembre2005 ............................... 3 Nouvelle-Calédonienovembre2004 ..................6 Centresétrangersjuin2006 ..........................10 Francejuin2006 ......................................14 LaRéunionjuin2006 .................................18 Polynésiejuin2006 ...................................22BaccalauréatLspécialité septembre2005àjuin2006 2[BaccalauréatLspécialitéFranceseptembre2005\ L’usaged’unecalculatriceestautorisé 3heures Cesujetnécessiteunefeuilledepapiermillimétré EXERCICE 1 6points Hectoraparticipédetrèsnombreusesfoisàunecompétitionquisedérouleendeux manches.Ilaenregistrésurcassettevidéochacunedescompétitionsauxquellesila participé,etilaconstatélesfaitssuivants: • ilagagnélapremièremanchedans95%descas; • quandilaperdulapremièremanche,ilaaussiperduladeuxième3foissur10; • quandilagagnélapremièremanche,ilaaussigagnéladeuxièmedans90%des cas. On choisit au hasard une des cassettes vidéo enregistrées par Hector et on la vi- sionne.Ilyaéquiprobabilitédeschoix.Onnote: • M l’évènement «surcettecassette,onvoitHectorgagnerlapremièremanche»;1 • M l’évènement«surcettecassette,onvoitHectorgagnerladeuxièmemanche».2 Onnotera M l’évènement contrairede M et M l’évènement contrairede M .1 1 2 2 1. Àl’aidedel’énoncédonner: a. P(M )laprobabilitédel’évènement M ,1 1 b. P (M )laprobabilitédel’évènement M sachantque M estréalisé.M 2 2 11 2. Traduirelasituationàl’aided’unarbredeprobabilitéetcomplétercetarbre. 3. a. Montrer que la probabilité de voir Hector gagner les deux manches est de0,855. b. Quelle est la probabilité de l’évènement M sachant que M n’est pas2 1 réalisé? 4. a. Calculerlaprobabilitédel’évènement M .2 b. Achille,arrivéenretard,voitHectorgagnerladeuxièmemanche.Calcu- −2lerà10 prèslaprobabilitéquesurcettecassette,Hectoraitaussigagné lapremièremanche. EXERCICE 2 7points PartieA Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalleI=[20;150]par 13122 f(x)=2x+ . x 2′1. Montrer que sur l’intervalle I , f (x)= (x−81)(x+81). En déduire que sur 2x′l’intervalleI, f (x)estdusignede(x−81). 2. Dresserletableaudevariationdelafonction f surl’intervalleI. 3. Lareprésentationgraphiquedelafonction f estdonnéeci-dessous:BacLspécialité septembre2005àjuin2006 y 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 x-10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 120 130 140 Détermineraveclaprécisionpermiseparlegraphique,unevaleurapprochée dessolutionsdel’équation: f(x)=350(legraphiquen’estpasàrendreavec lacopie.) PartieB Unresponsabledeclubdoitorganiserundéplacement.Letrajettotalestde600km etleclub dispose d’un busdontlaconsommation encarburant,exprimée enlitresµ ¶2v parheure,estdonnéepar 5+ oùv représentelavitessemoyenneduvéhicule 300 en kilomètres par heure. Le prix du litre de carburant est de 1 € et le chauffeur est payé16,87 € parheure. 1. Ondésignepar t laduréetotaledutrajet,expriméeenheures. a. Exprimer t enfonctiondev. b. Démontrer que le coût du carburant, exprimé en euros, pour le trajet totalestégalà 3000+2v. v c. Montrerquelecoûtdutransport,expriméeneuros,estégalà f(v). 2. EnutilisantlapartieA: a. Donnerlavitessemoyenneàlaquelledoitroulerlebuspourquelecoût dutransportsoitminimal.Quelestalorscecoût? b. Le responsable du club dispose d’au plus 350 € pour le transport. Pour des raisons de sécurité, la vitesse moyenne du bus ne peut dépasser 90 kilomètresparheure.Déterminerl’intervalledanslequeldoitsesituerla vitesse moyenne du bus, pour que le coût du transport ne dépasse pas 350€. France 4 septembre2005BacLspécialité septembre2005àjuin2006 EXERCICE 3 7points Dans cetexercice,la description desprogrammesdesconstructionsn’est pas deman- dée sur la copie. Cependant, on laisseraapparents tous les traits de construction. La question4estindépendantedesquestions1,2et 3. 1. Traceràlarèglesurlafeuilledepapiermillimétré(sansdonnerd’explications) uncarréABCDdontlescôtésontpourlongueur16cm.PlacersoncentreOet lesmilieuxdescôtés. 2. Danscettequestion,onnotec lalongueurencmdescôtésducarréABCD.0 a. Calculerlalongueurdeladiagonale[AC]ducarréenfonctiondec .0 b. Tracer le cercle tangent aux quatre côtés du carré ABCD. Exprimer son diamètreenfonctiondec .0 ′ ′ ′ ′c. Tracer le carré A B C D inscrit dans le cercleC et dont les côtés sont parallèlesàceuxducarréABCD. ′ ′ ′ ′d. EnconstatantquelesdiagonalesducarréA B C D sontdesdiamètresdu ′ ′ ′ ′cercleC,calculerlalongueurc ,descôtésducarréA B C D enfonction1 dec .0 ′ ′ ′ ′ ′3. Tracer le cercleC tangent aux quatre côtés du carré A B C D puis le carré ′′ ′′ ′′ ′′ ′A B C D inscrit dans le cercleC dont les côtés sont parallèles â ceux du ′ ′′ ′′ ′′ ′′carréC .Exprimerlalongueurc descôtésdeA B C D enfonctiondec .2 1 4. En renouvelant cette construction, on obtient une suite de carrés. On note c , c , c etainsidesuitelalongueurdescôtésdescarréssuccessifsainsiobte-3 4 5 nus.Lescalculsprécédentsontmontréquelespremierstermesdelasuite(c )n 1 sontceuxd’unesuitegéométriquederaison p etdepremiertermec =16.0 2 Onadmettraquecerésultatestvraipourtouslestermesdelasuite(c ).n a. Déterminerl’expressiondec enfonctionden.n b. Calculerlesvaleursexactesdec etc .6 12 c. Pourquellesvaleursdel’entiern,lalongueurc ,descôtésdun (n+1)-ièmecarréconstruitest-t-ellestrictementpluspetiteque1cm? France 5 septembre2005[BaccalauréatLNouvelle-Calédonie\ Épreuvedespécialité-novembre2005 Durée:3heures EXERCICE 1 8points Rappelssurlafonctionlogarithmenépérien,notéeln: a etb étantdesréelsstrictementpositifsetn unentiernaturel:³ ´a nln(ab)=lna+lnb ; ln =lna−lnb ; ln(a )=nlna. b PartieA: Sur lafeuilleannexeàrendreaveclacopieonatracédansunrepèreorthonormal lacourbe(C)représentantlafonctionlogarithmenépérienetlaparabole(P)repré- sentantlafonction f définiesurRpar: 92f(x)=2x −3x+ 2 ′Lafonction f estdérivablesurRetonnote f safonctiondérivée. ′1. a. Calculer f (x)pourtoutréel x. b. Endéduireletableaudevariationsdelafonction f.(Onnedemandepas leslimitesde f àl’infini.) c. Quelles sont les coordonnées exactes du point S sommet de la para- bole(P)? 2. Onconsidèrelafonction g définiesurl’intervalle]0;+∞[par: 92g(x)= f(x)−lnx=2x −3x+ −lnx 2 ′La fonction g est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[ et on note g sa fonction dérivée. (4x+1)(x−1)′a. Montrerque,pourtoutréelstrictementpositif x :g (x)= . x b. Étudierlesvariationsdelafonction g surl’intervalle]0;+∞[. 7 Justifierqueleminimumdeg estégalà . 2 c. Endéduirequepourtoutréelstrictementpositif x : f(x)−lnx>0. Quellepropriétédescourbes(P)et(C),visible graphiquement, lerésul- tatci-dessuspermet-ildejustifier? PartieB: Pourtoutréelstrictementpositif x,onnote M lepointdelacourbe(P)d’abscisse x etN lepointdelacourbe(C)demèmeabscissex.Onaainsi:MN = f(x)−lnx=g(x). (lalongueurMN estexpriméedansl’unitégraphiqueduschémadefeuilleannexe.) 1. Placerlespoints M etN surleschémadelafeuilleannexelorsque x=2. 3 27 2. Montrerquelorsque x= ona: MN= +2ln2−ln3. 4 8 DonnerlavaleurdeMN arrondieaucentième. 3. a. À l’aide de la partieA, déterminer pour quelle valeur de x, la longueur MN estminimale.Quevautalorscettelongueur? b. Tracerenrougesurleschémadelafeuilleannexelesegment[MN]cor- respondant. 4. Quelleestlalimitedelalongueur MN quandx tendvers0(avecx>0)?BacLspécialité septembre2005àjuin2006 EXERCICE 2 6points Rappels: Soit(U )unesuitegéométriquederaisonq etdepremiertermeU .n 1 n−1Onaalorspourtoutentiern supérieurouégalà1:U =U ×q .n 1 Soit(V )unesuitearithmétiquederaisonr etdepremiertermeV .n 1 Onaalorspourtoutentiern supérieurouégalà1:V =V +(n−1)r.n 1 9 2Un carré d’aire 1 m est divisé en 9 car- 8 réségauxcommeindiquésurlafigureci- 7contre. erOncolorielecarrécentral.(1 coloriage) 6 5Leshuitcarrésrestantsontàleurtourdi- visés en 9 carrés égaux comme indiqué 4 surlafigureci-contre. 3Oncolorieleshuitcarréscentrauxobte- enus.(2 coloriage) 2 1 On poursuit avec la même méthode la 0divisionetlecoloriageducarré. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2Pourtoutentiern supérieurouégalà1,ondésignepar A l’aireenm delasurfacen 1 totalecoloriéeaprèsn coloriages.Onaainsi: A = .1 9 Lasurfacegriséesurlefigureci-dessusadoncpouraire A .2 Onremarqueraquechaqueétapeducoloriageconsisteàcolorierunneuvièmede lasurfacenoncoloriéejusquelà. 1 1. a. Justifierque A = A + (1−A )puiscalculerlavaleurnumériqueexacte2 1 1 9 de A .2 b. Expliquerpourquoi,pourtoutentiern supérieurouégalà1, 8 1 A = A + .n+1 n 9 9 2. Onposepourtoutentiern supérieurouégalà1:B = A −1.n n a. CalculerB .1 8 b. Montrerquepourtoutentiern supérieurouégalà1,B = B .n+1 n9 c. Quelleestlanaturedelasuite(B )?n Exprimeralors,pourtoutentiern supérieurouégalà1,letermegénéral B delasuite(B )enfonctionden.n n µ ¶n8 3. a. Endéduirequepourtoutentiern supérieurouégalà1: A =1− .n 9 b. Calculeralorslalimitedelasuite(A ).Quepeut-onendéduire?n Nouvelle-Calédonie 7 novembre2005BacLspécialité septembre2005àjuin2006 EXERCICE 3 6points Une horloge électronique a été programmée pour émettre un bip toutes les sept heures.Lepremierbipestémisle31décembre2004àminuit. er1. a. Àquelleheureestémisledernierbipdu1 janvier2005? b. Àquelleheureestémislepremierbipdu2janvier2005? c. Àquelleheureestémisledernierbipdu2janvier2005? d. Àquelleheureestémislepremierbipdu3janvier2005? Expliquerlesréponses. 2. a. Montrerque:24≡3(modulo7). b. Endéduirelerestedeladivisioneuclidiennede2×24par7etlerestede ladivisioneuclidienne de3×24par7.Justifier lesréponses. Reproduire surlacopieetcompléterletableausuivant: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Restedeladivision euclidienneden×24 5 1 4 0 3 6 2 par7 c. Expliquerpourquoil’horlogeémetunbipàminuittousles7joursettout les7joursseulement. 3. Onrappelle que l’année 2005 est une année nonbissextile et comportedonc 365jours. a. Déterminerlepluspetitentiernaturel a telque:365≡a(modulo7) b. À quelle date l’horloge émettra-t-elle un bip à minuit pour la dernière foisen2005? Expliquerlaréponse. Nouvelle-Calédonie 8 novembre2005BacLspécialité septembre2005àjuin2006 ANNEXEàl’exercice1(àrendreaveclacopie) 9 9 8 8 (P)7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 (C) 1 1 0 -2 -1 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4