BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES S janvier

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES S \ janvier 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur R+ par : f (x)= e x +e?x 2 . On note (C) la courbe représentative de f . 1. Étudier les variations de f . Déterminer la limite de f (x) en +∞. 2. On définit la fonction h sur R+ par : h(x)= f (x)? x. a. Résoudre l'équation ex ?e?x ?2= 0 ( on pourra poser X = ex ) b. En déduire que ex ?e?x ?2= (ex ?1?p2)(ex ?1+p2) ex . c. Étudier les variations de h. d. Montrer que h admet un minimum m, qui est strictement positif. Calculer m et en donner une valeur approchée à 10?2 près. 3. On définit une suite (Un) de la façon suivante : U0 = 1 etUn+1 = f (Un) pour n entier naturel. a. Montrer que la différenceUn+1?Un peut êtreminorée par m (calculé en 2. c.). b. Démontrer par récurrence queUn ?U0> n ·m. c. En déduire la limite de (Un). EXERCICE 2 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x)= 1+ lnxx .

• π3


• iy vérifiant la relation arg


• isocèle rectangle équilatéral


• relation z0z1z2


• solution de z2


• point m0


• repère orthonormal direct

Sujets

• Bobigny

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 77

Extrait

[BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES S\ janvier 2008

E X E R C IC E 1 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur R+ par : x−x e+e f(x)=. 2 On note (C) la courbe représentative de f . 1.Étudier les variations def. Déterminer la limite def(x) en+∞. + 2.On définit la fonctionhsurRpar :h(x)=f(x)−x. x−x x a.Résoudre l’équation e−e−2=0 ( on pourra poserX=e ) ¡ p ¢ ¡ p ¢ x x e−1−2 e−1+2 x−x b.En déduire que e−e−2=. x e c.Étudier les variations deh. d.Montrer quehadmet un minimumm, qui est strictement positif. −2 Calculermet en donner une valeur approchée à 10près. 3.On définit une suite (U n ) de la façon suivante : U 0 =1 etU n+1 =f ( U n ) pournentier naturel. a.Montrer que la différenceU n+1 −U n peut être minorée parm(calculé en 2. c.). b.Démontrer par récurrence queU n −U 0 > n∙m. c.En déduire la limite de (U n ).

E X E R C IC E 2 Commun à tous les candidats On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ par lnx f(x)=1+. x SoitCla courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère orthogonal ³ ´ −→−→ O,ı,d’unité graphique : 5 cm. 1.Calculer les limites defen 0 et en+∞. Déterminer les asymptotes deC. 2.Étudier le sens de variation def. Dresser le tableau de variation def. · ¸ 1 3.Montrer que l’équationf(x)=une solution0 admet sur l’intervalle; 1 e unique, notéeα. −2 Déterminer un encadrement deα, d’amplitude 10. Donner, suivant les valeurs dex, le signe def(x) sur ]0;+∞[. 4.Tracer la courbeC.

E X E R C IC E 3 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

M. Descroix Lycée Louise Michel Bobigny

Baccalauréat blanc S :

l 1. a.Soit (r n ) n∈N a suite géométrique réelle de premier termer 0 strictement 2 positif et de raison. 3 Exprimerr n en fonction der 0 etn. b.suite arithmétiqSoit la ( θ n ) n∈N ue réelle de premier termeθ 0 appartenant h h π2π à l’intervalle0 ;et de raison. 2 3 Exprimerθ n en fonction deθ 0 et den. c.Pour tout entier natureln, on posez n =r n (cosθ n +i sinθ n ). Sachant quez 0 ,z 1 etz 2 sont liés par la relationz 0 z 1 z 2 =8, déterminer le module et un argument dez 0 ,z 1 etz 2 . ³ ´ −→−→ 2.Dans le plan complexePmuni d’un repère orthonormal directO,u,v (unité graphique : 4cm), on appelleM n le point d’affixez n . a.Placer les points M 0 , M 1 , M 2 et M 3 dans le planP. b.Pour tout entiern, exprimerz n+1 en fonction dez n . c.Calculer alorsM n M n+1 en fonction den. n X d.On posel=M M=M M+ ∙ ∙ ∙ +M M. n k k+ 1 01n n+1 k=0 Calculerl n en fonction denet déterminer la limite del n quandntend vers+∞.

E X E R C IC E 4 4points À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté (ou la moitié s’il y a deux réponses exactes . . . ) ; une réponse inexacte enlève le quart du nombre de points affecté. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions : la question ne rapporte alors aucun point et n’en coûte aucun. Les réponses devront êtrejustifiées: en l’absence de justification la réponse ne sera pas prise en compte. Pour chaque question, une ou plusieurs réponses sont exactes. Si le total de points est négatif, la note est ramenée à zéro. 2 1.Une solution dez+2z+4=0 est dansC: 2π p i  1+i  −3−i  2e  −1− . i 3 3 2.Soitz 1 etz 2 les nombres complexes définis parz 1 =3−i etz 2 =2i−z 1 . z 2 Alors=: z 1 π3π π5π i− ii i  3e  −e  2e  3e . 2 4 3 6 3.Soit deux points A et B d’affixes respectivesz A =i etz B =3 dans un repère ³ ´ −→−→ orthonormal O,u,v. L’affixe de C, image de B par la rotation de centre A π et d’angleest : 3  −i  2i  3+i  3+2i 4.Dans le plan complexe, l’ensemble des pointsMd’affixez=x+iyvérifiant la µ ¶ z+2π relation arg=est inclus dans : z−2i 2  La droite d’équationy= −x  Le cercle de centre I(−1+i) et de rayon R = 2  La droite d’équation y = x  spectivesLe cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes rez A = −2 etz B =2i.

2

M. Descroix Lycée Louise Michel Bobigny

Baccalauréat blanc S :

5.Soit A(−i) , B(3) et C(2+3i). Le triangle ABC est :  quelconque  isocèle  rectangle  équilatéral

3