Baccalauréat blanc S heures Lycée PierreMendès France Tunis
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat blanc S – 4 heures\ Lycée PierreMendès-France - Tunis 2007 L'utilisation de la calculatrice est autorisée Exercice 1 : 4 points Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : 1. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence un ? vn tend vers 0 quand n tend vers +∞. 2. si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant àN, on a un 6 vn . 3. Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite. Partie B On considère une suite (un), définie surN dont aucun terme n'est égal à ?3. On définit alors la suite (vn) surN par vn = ?2 3+un . Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'uneproposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

  • rayon du cercle ?1

  • image du cercle ?2 par la rotation r1

  • enseignement de spécialitémathématiques

  • dé- monstration pour la réponse indiquée

  • cercle ?2

  • entier naturel

  • repère orthonormal direct

  • couple


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Langue Français

Exrait

[BaccalaurÉat blanc S – 4 heures\ LycÉe Pierre MendÈsFrance  Tunis 2007
L’utilisation de la calculatrice est autorise
Exercice 1 : Cet exercice constitue une restitution organise de connaissances.
4 points
Partie A : question de cours On suppose connus les rsultats suivants : 1.Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est dcroissante et la diffrenceunvntend vers 0 quandntend vers+∞. 2.si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est dcroissante, alors pour toutnappartenant áN, on aun6vn. 3.Toute suite croissante et majore est convergente ; toute suite dcroissante et minore est convergente. Dmontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la mme limite.
Partie B On considre une suite (un), dfinie surNdont aucun terme n’est gal á3. 2 On dfinit alors la suite (vn) surNparvn=. 3+u n Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d monstration pour la rponse indique. Dans le cas d’une proposition fausse, la dmonstration consistera á fournir un contre exemple. Une rponse non dmontre ne rapporte aucun point. 1.Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente. 2.Si (un) est minore par1, alors (vn) est minore par1. 3.Si (un) est dcroissante, alors (vn) est croissante. 4.Si (un) est divergente, alors (vn) est divergente.
Exercice 2 :5 points Pour tout relkstrictement positif, on considre la fonctionfk;dfinie sur [0+∞[ par ¡ ¢ x fk(x)=ln e+k xx. On noteCkla courbe reprsentative de la fonctionfkdans le plan muni d’un repre ³ ´ orthogonal O,ı,, units graphiques : 5 cm en abscisses et 10 cm en ordonnes. 1.En tudiant le sens de variation d’une fonction convenablement choisie, d montrer que pour tout rel positifx, ln(1+x)6x. 0 2.Calculerf(x) pour tout relx;appartenant á l’intervalle [0+∞[ et en dduire k le sens de variation de la fonctionfk. 3.Montrer que pour tout rel positifx, ³ ´ x fk(x)=ln 1+k. x e En dduire la limite defken+∞. 4. a.Dresser le tableau de variations defk. b.Montrer que pour tout rel positifx, k fk(x)6. e
1
5.Dterminer une quation de la tangenteTká la courbeCkau point O. 6.Tracer la courbeC1ainsi que sa tangente en O.
Exercice 3 :6 points ³ ´ Le plan est rapport au repre orthonormal directO,u,v(unit graphique : 2 cm). On considre les points A, B et C d’affixes respectives p p zA= −1+i 3,zB= −1i 3etzC=2.
1.Placer ces points sur un dessin. zz π B C i 3 2. a.Vrifier que=e . zAzC b.En dduire la nature du triangle ABC. c.Dterminer le centre et le rayon du cercleΓ1circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercleΓ1. 3. a.Ètablir que l’ensembleΓ2des pointsMd’affixezqui vrifient ¡ ¢ 2z+z+z z=0
est un cercle de centreΩd’affixe2. Prciser son rayon. ConstruireΓ2. b.Vrifier que les points A et B sont lments deΓ2. π 4.On appeller1.la rotation de centre A et d’angle 3 a.Quelles sont les images des points A et B par la rotationr1? Construire l’image C1du point C par la rotationr1puis calculer son affixe. b.Dterminer l’image du cercleΓ2par la rotationr1. 0 5.Soitrune rotation. Pour tout pointMd’affixez, on noteMl’image deMpar 0 0 retzl’affixe deM. 0 On posera :z=a z+b, avecaetbdes nombres complexes vrifiant|a| =1 et a6=1. On suppose quertransforme le cercleΓ2en le cercleΓ1. a.Quelle est l’image du pointΩparr? En dduire une relation entreaetb. b.Dterminer en fonction deal’affixe du pointr(C), image du point C par la rotationr. En dduire que le pointr(C) appartient á un cercle fixe que l’on dfinira. Vrifier que ce cercle passe par C1.
Exercice 4 :5 points Rserv aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spcialit mathmatiques. On tudie le mouvement alatoire d’une puce. Cette puce se dplace sur trois cases notes A, B et C. Soitnun entier naturel. â l’instant initialn=0, la puce se trouve en A. Si á l’instantnla puce est en A, alors á l’instant (n+1), elle est soit en B avec 1 2 une probabilit gale á, soit en C avec une probabilit gale á. 3 3 Si á l’instantnla puce est en B, alors á l’instant (n+1), elle est soit en A, soit en C de faÇon quiprobable. Si á l’instantnla puce est en C, alors elle y reste. On dsigne par An(resp. Bnet Cn) l’vnement : á l’instantnla puce est en A (resp. B et C). On posea=P(A ),b=Pet(B )c=P(C ). n nn nn n On a donca=1,b=0 etc=0. 0 00 Pour traiter cet exercice, on pourra s’aider d’arbres pondrs.
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1.Ètude du mouvement pour 16n63. a.Donnera1,b1etc1. Calculera1+b1+c1. b.â l’instantn=2, dans quelles cases la puce peutelle se trouver ? Dterminera2,b2etc2. c.â l’instantn=3, dans quelles cases la puce peutelle se trouver ? 17 En dduirea3. Calculerb3et vrifier quec3=. 18 2.Ètude du cas gnral. a.Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver á l’instantn lorsque l’entiernest pair (n=2kaveckN), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l’entiernest impair (n=2k+1 aveckN). En dduire (sans autre justification) la valeur dea2k+1. 1 b2k+1=a2k 3 b.Dmontrer que 1 a=b 2k+2 2k+1 2 µ ¶ k 1 c.Montrer que, pour tout entier naturelk,a2k=. 6 3. a.Dterminer le plus petit entier naturelNtel que
pour tout entier
6 a1 n>N,n60 .
b.Montrer que la suite (an)nest convergente. Prciser sa limite. N
Exercice 4 :5 points Rserv aux candidats ayant suivi l’enseignement de spcialit mathmatiques.
1.On considre l’quation diophantienne : 8x+5y=1 [E] d’inconnue le couple d’entiers relatifs (x,y). a.Citer un thorme permettant d’affirmer que l’quation [E] a des solu tions. b.Donner une solution particulire de [E]. c.Rsoudre alors dansZ×Zl’quation [E]. 2.SoitNun entier naturel tel qu’il existe un couple (a,b) de nombres entiers vrifiant : ½ N=8a+1 N=5b+2 a.Montrer que le couple (a,b) est solution de [E]. b.Quel est le reste dans la division euclidienne deNpar 40 ? 3.On considre l’quation : 0 8X+5Y=100 [E] d’inconnue le couple d’entiers relatifs (X,Y). 0 a.Rsoudre [E]. e b.Au VIIIsicle, un groupe compos d’hommes et de femmes a dpens 100 pices de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dpens 8 pices chacun et les femmes 5 pices chacune. Combien pouvaitil y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
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