Baccalauréat blanc S heures Lycée PierreMendès France Tunis

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat blanc S – 4 heures\ Lycée PierreMendès-France - Tunis 2007 L'utilisation de la calculatrice est autorisée Exercice 1 : 4 points Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : 1. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence un ? vn tend vers 0 quand n tend vers +∞. 2. si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant àN, on a un 6 vn . 3. Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite. Partie B On considère une suite (un), définie surN dont aucun terme n'est égal à ?3. On définit alors la suite (vn) surN par vn = ?2 3+un . Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'uneproposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

• rayon du cercle ?1


• image du cercle ?2 par la rotation r1


• enseignement de spécialitémathématiques


• dé- monstration pour la réponse indiquée


• cercle ?2


• entier naturel


• repère orthonormal direct


• couple

Sujets

• Entier naturel
• Couple

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Extrait

[BaccalaurÉat blanc S – 4 heures\ LycÉe Pierre MendÈsFrance  Tunis 2007

L’utilisation de la calculatrice est autorise

Exercice 1 : Cet exercice constitue une restitution organise de connaissances.

4 points

Partie A : question de cours On suppose connus les rsultats suivants : 1.Deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est dcroissante et la diffrenceu n −v n tend vers 0 quandntend vers+∞. 2.si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes telles que (u n ) est croissante et (v n ) est dcroissante, alors pour toutnappartenant áN, on au n 6 v n . 3.Toute suite croissante et majore est convergente ; toute suite dcroissante et minore est convergente. Dmontrer alors la proposition suivante : Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la mme limite.

Partie B On considre une suite (u n ), dfinie surNdont aucun terme n’est gal á−3. −2 On dfinit alors la suite (v n ) surNparv n =. 3+u n Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d monstration pour la rponse indique. Dans le cas d’une proposition fausse, la dmonstration consistera á fournir un contre exemple. Une rponse non dmontre ne rapporte aucun point. 1.Si (u n ) est convergente, alors (v n ) est convergente. 2.Si (u n ) est minore par−1, alors (v n ) est minore par−1. 3.Si (u n ) est dcroissante, alors (v n ) est croissante. 4.Si (u n ) est divergente, alors (v n ) est divergente.

Exercice 2 :5 points Pour tout relkstrictement positif, on considre la fonctionf k ;dfinie sur [0+∞[ par ¡ ¢ x f k (x)=ln e+k x−x. On noteC k la courbe reprsentative de la fonctionf k dans le plan muni d’un repre ³ ´ −→−→ orthogonal O,ı,, units graphiques : 5 cm en abscisses et 10 cm en ordonnes. 1.En tudiant le sens de variation d’une fonction convenablement choisie, d montrer que pour tout rel positifx, ln(1+x) 6 x. 0 2.Calculerf(x) pour tout relx;appartenant á l’intervalle [0+∞[ et en dduire k le sens de variation de la fonctionf k . 3.Montrer que pour tout rel positifx, ³ ´ x f k (x)=ln 1+k. x e En dduire la limite def k en+∞. 4. a.Dresser le tableau de variations def k . b.Montrer que pour tout rel positifx, k f k (x) 6 . e

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5.Dterminer une quation de la tangenteT k á la courbeC k au point O. 6.Tracer la courbeC 1 ainsi que sa tangente en O.

Exercice 3 :6 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapport au repre orthonormal directO,u,v(unit graphique : 2 cm). On considre les points A, B et C d’affixes respectives p p z A = −1+i 3,z B = −1−i 3etz C =2.

1.Placer ces points sur un dessin. z−z π B C i 3 2. a.Vrifier que=e . z A −z C b.En dduire la nature du triangle ABC. c.Dterminer le centre et le rayon du cercleΓ 1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercleΓ 1 . 3. a.Ètablir que l’ensembleΓ 2 des pointsMd’affixezqui vrifient ¡ ¢ 2z+z+z z=0

est un cercle de centreΩd’affixe−2. Prciser son rayon. ConstruireΓ 2 . b.Vrifier que les points A et B sont lments deΓ 2 . π 4.On appeller 1 .la rotation de centre A et d’angle 3 a.Quelles sont les images des points A et B par la rotationr 1 ? Construire l’image C 1 du point C par la rotationr 1 puis calculer son affixe. b.Dterminer l’image du cercleΓ 2 par la rotationr 1 . 0 5.Soitrune rotation. Pour tout pointMd’affixez, on noteMl’image deMpar 0 0 retzl’affixe deM. 0 On posera :z=a z+b, avecaetbdes nombres complexes vrifiant|a| =1 et a6=1. On suppose quertransforme le cercleΓ 2 en le cercleΓ 1 . a.Quelle est l’image du pointΩparr? En dduire une relation entreaetb. b.Dterminer en fonction deal’affixe du pointr(C), image du point C par la rotationr. En dduire que le pointr(C) appartient á un cercle fixe que l’on dfinira. Vrifier que ce cercle passe par C 1 .

Exercice 4 :5 points Rserv aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spcialit mathmatiques. On tudie le mouvement alatoire d’une puce. Cette puce se dplace sur trois cases notes A, B et C. Soitnun entier naturel. â l’instant initialn=0, la puce se trouve en A. •Si á l’instantnla puce est en A, alors á l’instant (n+1), elle est soit en B avec 1 2 une probabilit gale á, soit en C avec une probabilit gale á. 3 3 •Si á l’instantnla puce est en B, alors á l’instant (n+1), elle est soit en A, soit en C de faÇon quiprobable. •Si á l’instantnla puce est en C, alors elle y reste. On dsigne par A n (resp. B n et C n ) l’vnement : á l’instantnla puce est en A (resp. B et C). On posea=P(A ),b=Pet(B )c=P(C ). n nn nn n On a donca=1,b=0 etc=0. 0 00 Pour traiter cet exercice, on pourra s’aider d’arbres pondrs.

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1.Ètude du mouvement pour 1 6 n 6 3. a.Donnera 1 ,b 1 etc 1 . Calculera 1 +b 1 +c 1 . b.â l’instantn=2, dans quelles cases la puce peutelle se trouver ? Dterminera 2 ,b 2 etc 2 . c.â l’instantn=3, dans quelles cases la puce peutelle se trouver ? 17 En dduirea 3 . Calculerb 3 et vrifier quec 3 =. 18 2.Ètude du cas gnral. a.Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver á l’instantn lorsque l’entiernest pair (n=2kaveck∈N), et les cases sur lesquelles elle peut se trouver si l’entiernest impair (n=2k+1 aveck∈N). En dduire (sans autre justification) la valeur dea 2k+1 .  1   b 2k+1 =a 2k 3 b.Dmontrer que 1   a=b 2k+2 2k+1 2 µ ¶ k 1 c.Montrer que, pour tout entier naturelk,a 2k =. 6 3. a.Dterminer le plus petit entier naturelNtel que

pour tout entier

−6 a1 n > N, n 6 0 .

b.Montrer que la suite (a n ) n est convergente. Prciser sa limite. ∈N

Exercice 4 :5 points Rserv aux candidats ayant suivi l’enseignement de spcialit mathmatiques.

1.On considre l’quation diophantienne : 8x+5y=1 [E] d’inconnue le couple d’entiers relatifs (x,y). a.Citer un thorme permettant d’affirmer que l’quation [E] a des solu tions. b.Donner une solution particulire de [E]. c.Rsoudre alors dansZ×Zl’quation [E]. 2.SoitNun entier naturel tel qu’il existe un couple (a,b) de nombres entiers vrifiant : ½ N=8a+1 N=5b+2 a.Montrer que le couple (a,−b) est solution de [E]. b.Quel est le reste dans la division euclidienne deNpar 40 ? 3.On considre l’quation : 0 8X+5Y=100 [E] d’inconnue le couple d’entiers relatifs (X,Y). 0 a.Rsoudre [E]. e b.Au VIIIsicle, un groupe compos d’hommes et de femmes a dpens 100 pices de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dpens 8 pices chacun et les femmes 5 pices chacune. Combien pouvaitil y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?

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