Baccalauréat C 1985 Groupement 3 1

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C 1985 Groupement 3 1 \ EXERCICE 1 5 points Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??u , ??v ) , on considère les points M1, M2, M3 d'affixes respectives z, z2, z3 où z désigne un nombre complexe. 1. Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que les pointsM1 ,M2,M3 soient deux à deux distincts. 2. On suppose les points M1, M2, M3 deux à deux distincts. Déterminer l'en- semble des points M1 tels que l'un des angles du triangle M1M2M3 soit un angle droit. EXERCICE 2 4 points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC. A', B', C' désignent les milieux respectifs des bipoints (B, C), (C, A), (A, B). 1. Montrer qu'il existe un point P et un seul vérifiant les propriétés suivantes PA = PC et un mesure de l'angle en radians de ( á??PA , ???PC ) est égale à +pi2 . SoitQ le point tel que :QA =QBet unmesure de l'angle en radians de ( á???QB , ??PA ) est égale à +pi2 . 2. a. On désigne par : • rP la rotation de centre P et d'angle de mesure pi2 ; • rQ la rotation de centre Q et d'angle de mesure pi2 ; • sA? la symétrie par rapport au point A?.

• position relative de la courbe


• courbe représentative de gn dans le plan rapporté


• milieux respectifs des bipoints


• m3 d'affixes respectives


• qbet unmesure de l'angle en radians

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Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C 1985 Groupement 3\

E X E R C IC E 1 5points ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté à un repère orthonormé directO,u,v, on considère les 2 3 pointsM 1 ,M 2 ,M 3 d’affixes respectivesz,z,zoùzdésigne un nombre complexe.

1.Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que les pointsM 1 ,M 2 ,M 3 soient deux à deux distincts. 2.On suppose les pointsM 1 ,M 2 ,M 3 deux à deux distincts. Déterminer l’en semble des pointsM 1 tels que l’un des angles du triangleM 1 M 2 M 3 soit un angle droit.

E X E R C IC E points2 4 Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC. A’, B’, C’ désignent les milieux respectifs des bipoints (B, C), (C, A), (A, B).

1.Montrer qu’il existe un point P et un seul vérifiant les propriétés suivantes PA µ ¶ −→ á −→ π = PC et un mesure de l’angle en radians dePA ,PC estégale à+. 2 µ ¶ −→ á −→ Soit Q le point tel que : QA = QB et un mesure de l’angle en radian s deQB ,PA π est égale à+. 2 2. a.On désigne par : π •r P la rotation de centre P et d’angle de mesure; 2 π •r Q ;la rotation de centre Q et d’angle de mesure 2 ′ •sla symétrie par rapport au point A . ′ A image de A par l’applicationf=r◦s ′ Étudier l’ Q A ◦r P . ′ 3.Quelle est la nature du triangle A PQ ?

P R O B L È M E

11 points

Partie A Étude d’une fonction numérique définie par une intégrale qu’on ne cherchera pas à calculer ¸ · 1 1.Démontrer que pour tout nombre réelx0 ;élément de l’ensemble∪]1 ;+∞[ 2 Z 2x 1 l’intégrale dtest définie (ln désigne la fonction logarithme népérien). x lnt On considère l’application : ¸ · Z 2x 1 1 f;: 0∪]1 ;+∞[→Rx−→7f(x)=dt. 2 x lnt

1. Bordeaux,Caen, ClermontFerrand, Nantes, OrléansTou rs, Poitiers, Rennes

Terminale C

A. P. M. E. P.

2.Démontrer quefest dérivable en tout point de l’ensemble de définition, et ¸ · x ln 1 ′ 2 que pour toutx0 ;élément de∪]1 ;+∞[ :f(x)=. 2 (ln2x)(lnx) Déterminer le sens de variation def. ¸ · 1 3. a.Démontrer que pour toutx0 ;élément de∪]1 ;+∞[ : 2 x x 6 f(x) 6 . ln 2xlnx f(x) b.Déterminer les limites respectives def(xlorsque) et dextend vers x zéro. f(x) c.Déterminer les limites respectives def(x) et delorsquextend vers x +∞. 4.On considère l’applicationΨ1]: ]0 ;→R,t7−→Ψ(t)=2−2t+lnt. De l’étude des variations deΨsur ]0; 1] (sens de variation deΨet limites deΨaux bornes de l’intervalle de définition) déduire l’existence d’un unique ¸ · 1 nombre réelαtel que, [0 :élément deΨ(α)=0 et justifier que pour tout 2 nombre réeltélément de [αon a : ln, 1],t > 2t−2. Utiliser l’inégalité précédente pour démontrer que pour toutxélément de · · Z 2x 1 11 α;f(x) 6 dt. 2 2 x t−1 1 En déduire la limite def(x) lorsquex.tend vers 2 5.Démontrer que pour tout nombre réeltélément de [1 ;+∞[ :

lnt 6 t−1. Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers 1. 6. a.Résumer dans un tableau l’étude des variations def. b.On note (C) la courbeftprésentative defdans le plan rapporté à un ³ ´ −→−→ ′ repère orthonorméO,ı,et (C)=(C)∪{O}. ′ Donner l’allure de la courbe (C) en précisant la tangente en 0 et les droites asymptotes. Partie B Étude d’une famille de fonctions numériques définies par une intégrale qu’on ne cherchera pas à calculer

On considère, pour chaque entiernsupérieur ou égal à 2, l’application :

g n : ]1;+∞[→R Z 2x 1 x7→−g n (x)=dt. x t−1 et on désigne par (Γ n ) la courbe représentative deg n dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

1.netmétant des entiers tels que : 2 6 n<m, étudier la position relative des courbes (Γ n ) et (Γ m ). 2.Démontrer queg n est dérivable en tout point de l’intervalle ]1 ;+∞[ et expli citer sa fonction dérivée. En déduire que (Γ n ) admet une unique tangente parallèle à l’axe des abscisses 1 en un point d’abscisseu n =et d’ordonnéev n =g n ( u n ). n−1 n

Bordeaux, Caen, ClermontFerrand, Nantes, 2 OrléansTours, Poitiers, Rennes

juin 1985

Terminale C

A. P. M. E. P.

3. a.Montrer que la suite (u n ) n > est convergente et préciser sa limite. 2 b.Montrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2 on a : n n−1 (n+1) (n+1) <e et<1. n n n n (on pourra utiliser le résultat : pour tout réeltélément de ]1 ;+∞[, lnt<t−1). En déduire la monotonie de la suite (u) . n n > 2 4.Étudier la limite de la suite (v) . n n > 2

Bordeaux, Caen, ClermontFerrand, Nantes, 3 OrléansTours, Poitiers, Rennes

juin 1985