Baccalauréat C Aix en Provence septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1977 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Déterminer tous les couples (u, v) d'entiers relatifs vérifiant 5u?3v = 0. 2. En déduire les couples (p, q) d'entiers relatifs solutions de l'équation 5p?3q = 1 3. Résoudre le système x ?Z { x ? 1 (mod5) x ? 2 (mod3) EXERCICE 2 5 POINTS Soit P un plan affine euclidien et ( O, ??ı , ??? ) un repère orthonormé de P. Soit la fonction de R vers R f : x 7?? 12Log 1+ x 1? x . 1. Montrer que f est une fonction impaire. Étudier les variations de f et montrer que f définit une bijection de ]?1 ; +1[ sur R. Tracer la courbe représentative de f dans P. 2. Soit g la fonction réciproque de f ; quelles propriétés (ensemble de définition, sens de variation, continuité) de la fonction g peut-on déduire de l'étude de la fonction f . Montrer que g est dérivable sur R et que g ? = 1? g 2 3. Calculer ∫ 1 2 0 1 1? t2 dt ∫Logp3 0 (1? g 2(t)) dt .

• coordonnées du vecteur ????mm?


• ?? ?


• invariant par?


• groupe commutatif


• relatifs solution de l'équation


• entier relatif

Sujets

• Groupe abélien
• Entier relatif

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1977
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C AixenProvence septembre 1977\

E X E R C IC E 1 1.Déterminer tous les couples (u,v) d’entiers relatifs vérifiant

3 P O IN TS

5u−3v=0. 2.En déduire les couples (p,q) d’entiers relatifs solutions de l’équation

5p−3q=1 3.Résoudre le système ½ x≡5)1 (mod x∈Z x≡2 (mod3)

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Soit P un plan affine euclidien etO,ı,un repère orthonormé de P. Soit la fonction deRversR 1 1+x f:x→−7Log . 2 1−x

1.Montrer quefest une fonction impaire. Étudier les variations defet montrer quefdéfinit une bijection de ]−1 ;+1[ surR. Tracer la courbe représentative defdans P. 2.Soitgla fonction réciproque def; quelles propriétés (ensemble de définition, sens de variation, continuité) de la fonctiongpeuton déduire de l’étude de la fonctionf. ′2 Montrer quegest dérivable surRet queg=1−g 3.Calculer Z 1 Z Log 3 1 ¡ ¢ 2 2 dt1−g(t) dt. 2 0 1−t 0

P R O B L È M E

12 P O IN TS

Partie A ³ ´ −→−→ Soit P le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonorméO,ı,. On considère l’application ⋆ F:R→P t7−→m ³ ´ −→−→ telle que sixetydésignent les coordonnées demO,dans le repèreı,, µ ¶ 1 1 x=2t+ety=t−. t t

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2 2 x y 1.SoitHl’hyperbole d’équation− =1. 16 4 ¡ ¢ x y ⋆ Montrer queFR=H(on pourra poserX= +)∙ 4 2 ′ ′ Soienttettdeux réels non nuls tels queF(t)=metF(t)=m. Calculer en −−−→−−−−−−→ ′ ′′ ′ fonction det−tet det tles coordonnées du vecteurmm=F(t)F(t) . En déduire queFest bijective. On désigne parH 1 l’intersection deHavec le demiplan d’équationx>0 ; ¡ ¢ ⋆ ⋆ montrer queFR R=R−{0}. + =H 1 ,où + + −→−→ 2.etDéterminer les deux premières dérivées VΓ; montrerde l’application F −→ queΓa une direction fixe. −→−→ 3.TracerH 1 (on prendra ° ı ° = °  ° =2 cm). Placer les points A =F(1),m 2 =F(2),m 3 =F(3) et B =F(−1).

Partie B ¡ ¢ ′ ′′ Soientm(x;y) etm x;ydeux points deH; on considère le pointM(X;Y) défini par , ′ ′′ x xx y+x y ′ X= +y yetY= 4 4 µ ¶µ ¶ 2 2′2′2 x y xy 1.Calculer− −; montrer queMappartient àH. 16 416 4 On noteM=m⋆. La loi⋆est donc une loi de composition interne pourH. Montrer que :

′⋆ ⋆′ ′ ∀(t;t)∈R×R,F(t)⋆F(t)=F(t t). ¡ ¢ ⋆ En déduire queFest un isomorphisme deR,×sur (H,⋆). 2.En déduire que (H,⋆) est un groupe commutatif. µ ¶ 1 Préciser l’élément neutre. Que représentem=F. t ′ ′′ 3. a.On supposem6=m,m6=m, etM=m⋆m. En utilisant le A 1. montrer ′ que la droite (mm) est parallèle à la droite (AM). ′ b.On supposem=m; Montrer que la droite (mm) est parallèle à la tan gente en A àH. c.On suppose queM=m⋆m,m6=A etm6=B ; Montrer que la droite (AM) est parallèle à la tangente enmà H. d.On reprend les notations du A 3. De plus, on pose µ ¶µ ¶ 1 4 m 4 =F(4),m 3 =Fetm 4/3 =F. 3 3 Montrer quem 4 =m2⋆m 2 , etm 4/3 =m 4 ⋆m 3 . Construire géométrique mentm 4 , puism 3 ,puism 4/3 . e.Soient trois pointsm,n,pdeHtels quem⋆n=qetn⋆p=r. Montrer que, sip6=qetm6=r, les droites (mr) et (p q) sont parallèles, [Il est conseillé de calculer (m⋆n)⋆petm⋆(n⋆p)].

Partie C H→H Soit C∈Het soit l’applicationΦ: m7−→m⋆C On suppose quem=F(t) et C =F(e),eréel distant de 1.

AixenProvence

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septembre 1977

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2 1.Démontrer quemest invariant parΦsi et seulement sit=c. En déduire que si C appartient àH 1 ,Φadmet deux points invariants U et V. (on appellera U celui de ces deux points qui est situé surH 1 ). Montrer qu’alorsHadmet deux tangentes parallèles à la droite (AC) et que pourmdistinct de U et V ,la droite (mΦ(m) est parallèle à (AC). 2. Application:soit C=F(4)=m 4 . Déterminer U, V etΦ ( m 3 ). Vérifier que la tangente en U à H est parallèle à (AC).

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septembre 1977