Baccalauréat C Amérique centrale juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amérique centrale juin 1988 \ EXERCICE 1 4 POINTS Le plan (P ) est rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On considère l'en- semble (E ) des points M de (P ) de coordonnées (x ; y) vérifiant l'équation (1) 25(x2+ y2)= (3x?16)2 . 1. En interprétant géométriquement l'équation (1) démontrer que (E ) est une conique de foyer O et de directrice la droite (∆) d'équation x = 163 . Donner lanature et l'excentricité de (E ). Dans toute la suite de l'exercice, M désigne un point de (E ) et ? une détermi- nation de l'angle de vecteurs (?? u , ????OM ) . 2. a. Déduire de l'équation (1) une relation du premier degré entre OM et l'abscisse x de M . b. Démontrer que OM = 165+3cos? . 3. On suppose ici que ? appartlent a ] ? pi 2 ; pi 2 [ . La droite (OM) coupe (∆) en I et recoupe (E ) en un point M ?. a. Démontrer que 1OM + 1 OM ? est une constante indépendante de M .

• angle ?pi3


• application de l'inégalité des accroissements finis


• équation cartésienne de la tangente au point d'abscisse


• détermi- nation de l'angle


• repère ortho

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1988
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Amérique centrale juin 1988\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. On considère l’en semble (E) des pointsMde (P) de coordonnées (x;y) vérifiant l’équation ¡ ¢ 2 22 (1) 25x+y=(3x−16) . 1.En interprétant géométriquement l’équation (1) démontrer que (E) est une 16 conique de foyer O et de directrice la droite (Δ) d’équationx=. Donner la 3 nature et l’excentricité de (E). Dans toute la suite de l’exercice,Mdésigne un point de (E) etθune détermi ³ ´ −→−−→ nation de l’angle de vecteursu, OM. 2. a.Déduire de l’équation (1) une relation du premier degré entre OMet l’abscissexdeM. 16 b.Démontrer que OM=. 5+3 cosθ i h π π 3.On suppose ici queθappartlent a−; . 2 2 ′ La droite (OM) coupe (Δ) en I et recoupe (E) en un pointM. 1 1 a.Démontrer que+est une constante indépendante deM. ′ OMOM 1 12 b.Démontrer que− =. ′ OMOMOI

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS On considère dans le plan orienté (P), deux points distincts A et B. Pour tout point π ′ Mde (P), on appelleMl’image deMdans la rotationr A de centre A, d’angle−et 3 2π ′′ Ml’image deMdans la rotationr B de centre B, d’angle. 3 −1 1.De l’étude der B ◦ ( r A ) ,déduire que pour tout pointMde (P), le milieu de ′ ′′ [M Mcle de] est un point fixe J dont on démontrera qu’il appartient au cer diamètre [AB]. 2.Le but de cette question est de déterminer l’ensemble des pointsMpour les ′ ′′ quelsM,M,Msont alignés. a.Pour tout pointMde (P) distinct de A et B, démontrer que ³ ´³ ´ −−−−→−−→− −−→−−→ π ′ ′′ M M,M M=MA ,MB−modulo 2π. 2 ′ ′′ b.En déduire l’ensemble des pointsMdu plan tels queM,M,Msoient alignés.

P R O B L È M E

Partie A On considère la fonction numériquegdéfinie sur I=[−1 ;+∞[ par : 2 3 x x g(x)=ln(1+x)−x+ −. 2 3

12 P O IN TS

Le baccalauréat de 1989

A. P. M. E. P.

1. a.Démontrer que pour touttde I on a : t3 3 t ′ g(t)= −. 1+t ′3 ¯ ¯ b.En déduire que pour touttde I on ag(t) 6 2|t|. c.Par application de l’inégalité des accroissements finis, déduire de ce qui 4 précède que pour toutxde 1 on a|g(x)| 6 2x[on pourra distinguer deux cas suivant le signe dex]. Partie B Soitfla fonction numérique définie sur ]−1,+∞[ par  x−ln(1+x)   f(x)=six6=0 2 x 1   f(0)= 2 On note (C) la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ normal O,ı,.

1.En utilisant les encadrements obtenus au A., démontrer que la fonctionfest dérivable en zéro et préciser une équation cartésienne de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe (C). 2.Soithla fonction numérique définie sur ]−1 ;+∞[ par :

2 −x−2x h(x)= +2 ln(1+x). 1+x a.Étudier le sens de variation deh(on ne demande pas d’étude aux bornes). b.Préciserh(0). En déduire le signe deh(x) sur ]−1 ;+∞[. ′ 3.Calculerf(x) pourxappartenant à ]−1 ;O[∪]0 ;+∞[ et l’exprimer à l’aide deh(x). En déduire le sens de variation def. 4.Étudier les limites defen−1 et+∞. 5.Construire avec soin la courbe (C) en précisant ses asymptotes (on prendra 2 cm pour unité). Partie C 1. a.Démontrer que, pour tout réeltpositif ou nul, on a :

2′ −t 6 h(t) 6 0. b.Pour tout réelxpositif ou nul, en déduire par intégration, un encadre 1 ′ ¯ ¯ ment deh(x) et démontrer quef(x) 6 . 3 2.Soitφla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parφ(x)=f(x)−x. De l’étude des variations deφ, déduire que l’équationf(x)=xadmet une seule solution réelle strictement positive notéea. Vérifier quea<1. Partie D 1.On poseu 0 =1 etu n+1 =f ( u n ) pour tout entier natureln. Montrer par ré currence surn, en utilisant le sens de variation def, que cette suite est bien définie et que, pour tout entier natureln, on a : 0 6 u n 6 1.

Amérique centrale

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juin 1988

Le baccalauréat de 1989

A. P. M. E. P.

2. a.Démontrer, en appliquant àfl’inégalité des accroissements finis, que pour tout entier naturelnon a : 1 | u n+1 −a | 6 | u n −a | . 3 En déduire que :

1 | u n −a | 6 . n 3 verge et préciser sa limite. b.Prouver que la suite (u n ) n∈ con N c.En déduire, en justifiant, une valeur denpour laquelleu n constitue une −3 valeur approchée deaprès. Préciser cette valeur approchée.à 10

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