Baccalauréat C Amérique du Nord juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1990 \ EXERCICE 1 4 POINTS Dans l'espace orienté, on considère un tétraèdre régulier ABCD. Les points I, J, K, L, M et N sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA], [BD] et [AC]. A B C D I J K L Mw + + + 1. a. Démontrer que la droite (BC) est orthogonale au plan (ADJ). b. Indiquer cinq autres orthogonalités démontrables de la même manière qu'au a. c. Soit w l'isobarycentre des points A, B et C. Démontrer que (Dw) est or- thogonale au plan (ABC). 2. On considère la réflexion s par rapport au plan (ADJ) et la réflexion s? par rap- port au plan (CDI). On pose r = s ? s?. a. Déterminer l'axe de la rotation r . b. Déterminer les images par r de A, B et C. En déduire une mesure de l'angle de r . EXERCICE 2 5 POINTS Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x)= √ 2x2?2x+1. Soit? sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) et ∆ le domaine limité par ?, l'axe des abscisses et les droites d'équation x =

• représentation paramétrique


• isocèle rectangle en bn


• espace orienté


• triangleoij isocèle


• courbes ?


• courbe représentative dans le plan rapporté


• direct


• nature de la transformation

Sujets

• Direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1990
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1990\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Dans l’espace orienté, on considère un tétraèdre régulier ABCD. Les points I, J, K, L, M et N sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA], [BD] et [AC].

I

A

L

D

M w B K J C 1. a.Démontrer que la droite (BC) est orthogonale au plan (ADJ). b.Indiquer cinq autres orthogonalités démontrables de la même manière qu’au a. c.Soitwl’isobarycentre des points A, B et C. Démontrer que (Dw) est or thogonale au plan (ABC). ′ 2.On considère la réflexionspar rapport au plan (ADJ) et la réflexionspar rap ′ port au plan (CDI). On poser=s◦s. a.Déterminer l’axe de la rotationr. b.Déterminer les images parrde A, B et C. En déduire une mesure de l’angle der.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Soitfla fonction définie sur [0 ; 1] par : p 2 f(x)=2x−2x+1. ³ ´ −→−→ SoitΓsa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormalO,ı, etΔle domaine limité parΓ, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=0 et x=1.

1. a.Montrer queΓest incluse dans la courbeHd’équation : µ ¶ 2 1 2 2y−4x− =1. 2 b.Montrer queHest une hyperbole. Donner son axe focal, son centre et ses sommets. TracerHpuisΓ.

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2.Soituun nombre réel de [0 ; 1]. On pose :

u p A=1+ +1+u 2 u p B=1+ −1+u. 2 Calculer le produitAB. En déduire que :

A. P. M. E. P.

2 p u u 0 6 1+ −1+u 6 . (1) 2 8 Z 1 3.SoitI=f(x) dx. (On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.) 0 a.Utiliser (1) pour démontrer que pour toutxde [0 ; 1] : s µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶ 2 42 2 1 11 1 1+2x− −2x− 6 1+4x− 6 1+2x−. 2 22 2 b.En déduire un encadrement deI. c.Donner une interprétation graphique de l’intégraleI.

P R O B L È M E 11 P O IN TS Dans le plan orienté on donne une courbeC. On se propose d’étudier une suite ( M n points du plan, construite à partir de) deC. n > 0 La partie A. étudie géométriquement un exemple oùCest une droite D. Dans la partie B. on met en équation le problème dans le cas général. La partie C. utilise les équations obtenues pour traiter un second exemple. A. Étude géométrique d’une transformation du plan ³ ´ −→−→ On donne un triangle OIJ isocèle, rectangle en O et direct (c’estàdire queOI ,OJ= π +). On note D la droite (IJ). 2 À tout point M de la droite D, on associe le point N du plan tel que OMN soit isocèle ³ ´ −−→−−→ π rectangle en N et direct (c’estàdire queOM , ON= +) et le point P projeté de 4 N sur D parallèlem nt à (OJ). 1.Faire une figure. On prendra OI = OJ = 4 cm et on choisira le point M tel que −→ 3 −→ IM=IJ . 4 2. a.Montrer qu’il existe une similitude directeset une seule de centre O, transformant M en N. Préciser son angle et son rapport. b.Déterminer l’imageΔde D pars. PlacerΔsur la figure. ′ 3.l’intersection deSoit OΔet D. ′ ′ Montrer qu’il existe une similitude directeset une seule, de centre O , trans formant N en P. Préciser son angle et son rapport. 4.Préciser la nature des transformations :

′ ′ t 1 =s◦sett 2 =s◦s. (On pourra étudier les applications vectorielles associées.) 5.On considère les sui tes (A n ) > 0 et (B n ) depoints du plan définies par : n n > 0 – ladonnée d’un pointA 0 de D et

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A. P. M. E. P.

– leprocédé suivant : Pour tout entiern > 0 le triangle OA n B n est isocèle rectangle enB n et direct et pour tout entier n > 0 A n+1 est le projeté deB n sur D parallèlement à (OJ). a.Construire et placer sur la figure les pointsA 0 ,B 0 ,A 1 ,B 1 ,A 2 ,B 2 ,A 3 . −−→ 3 −→ (On choisiraA 0 tel que IA 0 =IJ .) 4 b.Prouver que pour tout entiern > 0 :

′ s ( A n ) =B n ets ( B n ) =A n+1 . c.out entierEn déduire (à l’aide des résultats de la question 4. que pour t n > 0 : −−−−→−−−→−−→−→−−− A 0 A n =n A 0 A 1 etB 0 B n =nB 0 B 1 .

B. Mise en équation du cas général ³ ´ −→−→ Dans toute la suite du problème on prendO ;OI ,OJ commerepère orthonormal direct. On remplace la droite D par la courbeCd’équationy=f(x) oùfest une fonction définie surRne s’annulant pas en 0. Pour tout nombre réelton noteM(t) le point deCd’abscissetetN(t) l’image de M(t) par la similitudesintroduite en A. 2. a. 1.Donner l’écriture complexe de la similitudes. 2.SoitX(t) etY(t) les coordonnées du pointN(t). Montrer que :  1   x(t)=(t−f(t)) 2 1   y(t)=(t+f(t)). 2 Ainsi, lorsque M(t) parcourtC, N(t) parcourt la courbeΓdéfinie par la repré sentation paramétrique (1). ) ) les suites définies comme en A. 5. à partir d’un point 3.Soit (A n n > 0 et (B n n > 0 A 0 deCet le procédé suivant : Pour tout entiern > 0, le triangle OA n B n est isocèle rectangle enB n et direct et pour tout entiern > 0, A n+1 est le point deCayant la même abscisse queB n . On notex n ety n les coordonnées deB n . a.À l’aide de (1), exprimerx n+1 ety n+1 en fonction dex n etf ( x n ). b.Retrouver ainsi la disposition des points des suites (A ) n n > 0 et (B n ) n > 0 dans la situation étudiée dans la partie A., oùCest la droite (IJ).

C. Étude d’un autre exemple x Dans cette partie on suppose queCest la courbe d’équationy=le repèree dans ³ ´ −→−→ O ; OI , OJ(unité graphique : 4 cm). 1. a.Étudier les variations des fonctionsgethdéfinies surRpar : 1 ¡ ¢ 1 ¡ ¢ t t g(t)=t−e eth(t)=t+e . 2 2

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A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ b.Dans le repèreO ; OI , OJtracer la courbeC, ainsi que la courbeΓdé finie par la représentation paramétriquet→7−(g(t) ;h(t)). c.Préciser la tangente àΓau point de paramètret=0. 2. a.Montrer que l’équationh(t)=0 admet une solution uniqueαtelle que :

−0, 6 6 α 6 −0, 5. b.En déduire que la courbeΓcoupe l’axe des abscisses en un point unique L. c.Démontrer queg(α)=α. et (Bcomme en B. 3.,) définies 3.On considère les suites de points (A n ) n > 0 n n > 0 mais oùA 0 est le point deCd’abscisse−3. ¡ ¢ Les suites (x n ) ety n sont alors définies par : n > 0 n > 0   x=g(−3)y  0  0 =h(−3) et pourn > et pour0 etn > 0   x n+1 =g ( x n ) y n+1 =h ( x n ) a.Placer les pointsA 0 ,B 0 ,A 1 ,B 1 ,A 2 ,B 2 . b.Démontrer par récurrence, que la suite (x n ) estmajorée parαet est n > 0 croissante. ¡ ¢ c.En déduire que la suite (xconverg n ) n > 0 e versαet que la suitey n n > 0 converge vers 0. d.Interpréter graphiquement le résultat obtenu à la question c.

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