Baccalauréat C Amiens groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens groupe 4 1 juin 1980 \ EXERCICE 1 4 POINTS Deux urnes contiennent dix boules indiscernables au toucher. Sur les boules de la première urne sont inscrits respectivement les nombres : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5 et sur celles de la deuxième urne les nombres 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5. 1. On tire une boule dans chaque urne et on définit la variable aléatoire X qui, au couple de boules tirées, fait correspondre la somme des nombres inscrits sur ces deux boules. – Étudier la loi de probabilité de X . – Calculer l'espérance mathématique de la variable X . 2. On effectue dix fois le tirage décrit à la question précédente, les boules étant remise dans leurs urnes respectives après chaque tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement sept fois une somme paire au cours des dix tirages ? EXERCICE 2 4 POINTS Soit f l'application de R dans R définie par : f (x) = ex ? x si x < 0 f (x) = cos2pix si x ? [0 ; 1] f (x) = 1+ logx x si x > 1 1. Étudier la continuité de la fonction f . 2. Étudier la dérivabilité de la fonction f .

• isomorphisme de kmuni de lamultiplication dans ?muni de la loi ? de composition des applications


• détermination de ?


• translation de vect ??e3


• loi ?

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Extrait

1 [Baccalauréat C Amiens groupe 4juin 1980\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Deux urnes contiennent dix boules indiscernables au toucher. Sur les boules de la première urne sont inscrits respectivement les nombres : 1,1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5 et sur celles de la deuxième urne les nombres 1, 2, 2, 3, 3, 3,3, 4, 5, 5. 1.atoireOn tire une boule dans chaque urne et on définit la variable aléXqui, au couple de boules tirées, fait correspondre la somme des nombres inscrits sur ces deux boules. – Étudierla loi de probabilité deX. – Calculerl’espérance mathématique de la variableX. 2.On effectue dix fois le tirage décrit à la question précédente, les boules étant remise dans leurs urnes respectives après chaque tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement sept fois une somme paire au cours des dix tirages ?

E X E R C IC E 2 Soitfl’application deRdansRdéfinie par : x f(x)=e−xsix<0 2 f(x)=cosπxsix∈[0 ; 1] logx f(x)=1+ six>1 x

4 P O IN TS

1.Étudier la continuité de la fonctionf. 2.Étudier la dérivabilité de la fonctionf. 3.Étudier les variations de la fonctionf. ³ ´ −→−→ 4.Construire la courbe représentative defO,dans un repère orthonorméı,. On prendra 3 cm pour unité. 5.On appelleDle domaine plan, ensemble des pointsMde coordonnéesxety tels que : ( −1 6 x 6 e 0 6 y 6 f(x). 2 Calculer en cm, l’aire du domaineD.

P R O B L È M E 12 P O IN TS ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension trois etB=ı,,kune base orthonormée directe de E. −→ On considère l’endomorphismeϕde E qui à tout vectv(x;y;z) associe le vect ¡ ¢ −→ ′ ′′ ′ v x;y;ztel que : p p ′ 3x=x+(1−3)y+(1+3)z p p ′ 3y=(1+3)x+y+(1−3)z p p ′ 3z=(1−3)x+(1+3)y+z

1.

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

Partie A 1.Montrer queϕest un endomorphisme orthogonal de E. 2.Etudier l’ensemble F des vects invariants par l’applicationϕet en déduire que ϕest une rotation vectorielle. −→−→ 3.Montrer que l’ensemble des vectsvde E orthogonaux àϕ(v) est un plan vectoriel G. Préciser la position relative de F et G. 4.Montrer que le plan vectoriel G est globalement invariant parϕ. Quel renseignement peuton en déduire sur l’angle de la rotation deϕ?

Partie B On se propose, à l’aide d’un changement de base, de définirϕavec précision. −→−→−→ On considère, pour cela, les trois vecteurse 1 ,e 2 ,e 3 de E tels que : ³ ´ −→ 1 →→−− e 1 = pi−j 2 ³ ´ −→ 1 −→ −→ −→ e 2 = pa i+j−2k 6 ³ ´ −→ 1 −→−→ −→ e 3 = pi+b j+c k 3

3 où (a,b,c)∈R. −→−→−→ 1.Déterminer les réelsa,betcpour que (e 1 ,e 2 ,e 3 ) soit une base orthonormée. Dans la suite du problème on donnera àa,betcles valeurs trouvées. ³ ´ −→−→−→ 2.Montrer que la base orthonorméee 1 ,e 2 ,e 3 est directe. ³ ´³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→−→ −→ 3.Exprimer les vecteursϕe 1 ,ϕe 2 etϕe 3 dans la baseı,,k, puis ³ ´ −→−→−→ dans la basee 1 ,e 2 ,e 3 . ³ ´ −→ −→−→ Le plan vectoriel de basee 2 ,e 3 étant orienté par la vecte 2 , étudier la res triction deϕà ce plan. Achever alors la détermination deϕ. 1n n−1 4.On poseϕ=ϕ,ϕ=ϕ◦ϕpourn∈N,n > 2. a.Déterminer, avec précision, les éléments de l’ensemble © ª 1 2 3 4 Ω=ϕ,ϕ,ϕ,ϕ. b.Soit K l’ensemble des racines quatrièmes de l’unité. Montrer que l’en semble K muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe commutatif. c.On considère l’applicationΦde K dansΩdéfinie pour toutk, élément de {1,2, 3, 4} par : µ ¶ kπkπ k Φcos+i sin=ϕ. 2 2 Montrer queΦest un isomorphisme de K muni de la multiplication dans Ωmuni de la loi◦de composition des applications. En déduire la structure de l’ensembleΩmuni de la loi◦et déterminer n⋆ ϕpour toutn∈N.

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Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

5.On considère les plans vectoriels P et P’ engendrés respectivement par les sys n on o −→ −→−→ −→−→ tèmes de vecteurse 1 ,e 3 ete 1 +e 2 ,e 3 . ′ Soientσetσles symétries vectorielles orthogonales par rapport aux plans P ′ et Prespectivement. Déterminer les vecteurs suivants : ³ ´³ ´ ³ ´ −→ −→−→ ′ ′ σe i ;σe i ;σ◦σe i pouri∈{1, 2, 3}. ′ En déduire que :σ◦σ=ϕ. Partie C 1.On appelleEl’espace affine euclidien rapporté au repère orthonormé direct −→−→−→ (O,e 1 ,e 2 ,e 3 ) etgl’application affine deEdansEqui à tout pointM(x;y;z) ¡ ¢ ′ ′′ ′ associe le pointM x;y;ztel que :  y ′ x  x= −  2 2 y ′ x y= ++1  2 2  ′ z=z+1. a.Montrer quegest isométrie affine dont on déterminera, avec précision, l’endomorphisme associéγ. b.Étudier l’ensemble des points invariants de l’applicationg. En déduire quegest un vissage. On montrera quegpeut se mettre sous la forme :

g=r◦t=t◦r −→ oùtest la translation de vecte 3 etrune rotation affine que l’on déter minera.

2.Montrer que l’applicationg◦gest un vissage dont l’endomorphisme associé est l’applicationϕétudiée dans la partie A. Préciser les éléments de ce vissage.

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