Baccalauréat C Amiens juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens juin 1983 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Résoudre dans C l'équation z2? (3+4i)z+ (?1+5i)= 0. On désigne par z ? et z ?? les racines de cette équation. 2. Soit P un plan affine orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Au point de coordonnées (x ; y) on associe son affixe z = x+ iy . Soit A le point d'affixe z ? et B celui d'affixe z ??. Déterminer les points C tels que le triangle ABC soit équilatéral. EXERCICE 2 5 POINTS On considère la fonction f de R dans R définie par : { f (x) = ?xe?x si x 6 0 f (x) = x logx si x > 0. 1. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers zéro par valeurs positives. Étudier la continuité de f . Étudier les variations de f et tracer sa courbe (C ) dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . On précisera les demi-tangentes en O. 2. Montrer que la restriction ? de f à I = [?1 ; e?1] permet de définir une bijec- tion de I sur ?(I ). Tracer la courbe représentative (?) de ??1 dans le repère ( O, ??ı , ??? ) .

• courbe


• point de coordonnées


• courbe c??


• déterminant de la matrice f2 dans la base


• repère orthonormé

Sujets

• Courbe
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Amiens juin 1983\

E X E R C IC E 1 1.Résoudre dansCl’équation

3 P O IN TS

2 z−(3+4i)z+(−1+5i)=0. ′ ′′ On désigne parzetzles racines de cette équation. 2.irect. Au pointSoit P un plan affine orienté rapporté à un repère orthonormé d de coordonnées (x;y) on associe son affixez=x+iy. ′ ′′ Soit A le point d’affixezet B celui d’affixez. Déterminer les points C tels que le triangle ABC soit équilatéral.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS On considère la fonctionfdeRdansRdéfinie par : ½ −x f(x)= −xe six 6 0 f(x)=xlogxsix>0. 1.Déterminer la limite deflorsquextend vers zéro par valeurs positives. Étudier la continuité def. Étudier les variations defet tracer sa courbe (C) dans un repère orthonormé ³ ´ −→−→ O,ı,. On précisera les demitangentes en O. £ ¤ −1 2.Montrer que la restrictionϕdefàI= −1 ; epermet de définir une bijec tion deIsurϕ(I). ³ ´ −→−→ −1 Tracer la courbe représentative (Γ) deϕO,dans le repèreı,. −1 Déterminer l’ensemble de dérivabilité deϕet calculer la valeur de la dérivée 1 1 −1 − 2 deϕ.en e 2

P R O B L È M E 12 P O IN TS ³ ´ −→−→ On désigne par P un plan vectoriel euclidien dont une base orthonormée estı, ³ ´ −→−→ et parPun plan affine associé à P ; soitO,ı,un repère deP. On considère une application affine f qui à tout pointM(x;y) dePassocie le point ¡ ¢ M 1 x 1 ;y 1 dePet on désigne parFl’endomorphisme associé àf: µ ¶ ³ ´ a c →−→− soit lamatrice deFdans la baseı,. b d Pour tout pointMdePon noteM1=f(M);M 2 =f ( M 1 ) ;M 3 =f ( M 2 ) ;M 4 =f ( M 3 ) et G l’isobarycentre des pointsM,M 1 ,M 2 etM 3 . Partie A 2 1.Démontrer queF= −I P si et seulement si 2 a+d=0 eta+bc= −1. 2 (I P désigne l’application identique de P, etF=F◦F.) 2 2.Dans cette partie,a=2,b=1 etF= −I P .

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ a.Écrire la matrice deFdans la baseı,. En déduire que l’application affinefadmettantFcomme endomorphisme associé et telle quef(O)= ′ ′ O ,O étantle point de coordonnées (2 ; 0), est définie par : ½ x 1 =2x−5y+2 y 1 =x−2y. Démontrer quefest bijective. ′ b.On désigne parD=f(D) l’image parfd’une droite quelconqueDdu ′ plan P. Démontrer queDetDne sont pas parallèles. En déduire que, quel que soit le pointMdeP, les pointsM,M 1 ,M 2 , lorsqu’ils sont distincts, ne sont pas alignés. c.Préciser la nature des applications : ½ 2 f=f◦f, 4 22 f=f◦f. d.SoitM(x;y) un point quelconque de P. En utilisant le A 2. c., déterminer les coordonnées du pointGisobarycentre deM,M 1 , M 2 etM 3 . En déduire que le pointGest indépendant du choix deMet queGest le seul point invariant parf. e.Faire une figure en indiquant les situations respectives des pointsM,M 1 , M 2 etM 3 lorsqueMest le point de coordonnées (2 ; 1). Partie B 4 Soit E l’ensemble des applications affinesfdePdansPtelles quef=I P . (I P est l’application identique deP.) Soit F l’endomorphisme associé àf. 2 1.? Quelle peutêtre par suiteQuelle propriété doit vérifier l’endomorphisme F sa nature ? 2 Démontrer que Fne peut pas être une symétrie vectorielle par rapport à une −→ ′ droite vectorielle D (de baseu(de base) de direction une droite vectorielle D −→ ′ vétant distincte de D).) (D ³ ´ −→−→ 2 (On pourra utiliser le déterminant de la matrice Fdans la baseu,v). 2 En déduire les possibilités pour F. 2.Démontrer que le pointGdéfini dans la question A 2. d. est invariant par toute applicationfde E. Partie C On considère l’applicationfde P dans P laissant invariant le point O et telle que ³ ´ −→−→ l’endomorphisme associéFait pour matrice dans la baseı,: µ ¶ 1 1 −2−1 1.Vérifier quefest un élément de E . Exprimerx 1 ety 1 en fonction dexety. 2 2 2.Soit les courbes C αβ d’équationαx+βx y+y=1 (αetβétant deux réels donnés). ′ a., images parDéterminer l’équation des courbes Cfdes courbes C αβ . αβ

Amiens

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Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

b.Déterminerαetβpour que la courbe C αβ soit globalement invariante parf. Démontrer que la courbe ainsi obtenue est la réunion de deux courbes γ 1 etγ 2 d’équations respectives : p 2 y=g 1 (x)= −x+1−xpourγ 1 p 2 y=g 2 (x)= −x−1−xpourγ 2 Étudier la fonctiong 1 . Construireγ 1 . En déduireγ 2 par une transformation simple que l’on précisera. Métant un point quelconque deγ=γ 1 ∪γ 2 , indiquer sur la figure les 2 3 pointsM,f(M),f(M),f(M). 3.De façon générale, on recherche les courbes C αβ telles que leurs images parf aient pour équation : ¡ ¢ 2 2 kαx+βx y+γ=1. Démontrer que deux valeurs seulement sont possibles pourk. En déduire qu’on obtient d’une part la courbe obtenue au 2. et d’autre part un ensemble de courbes dont on donnera l’équation en fonction d’un seul paramètre (α par exemple). N.B. Les parties B et C sont indépendantes.

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