Baccalauréat C Amiens–Rouen juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens–Rouen juin 1983 \ EXERCICE 1 Soit f la fonction numérique de R dans R définie par : f (x)= cos3x ·cos3 x. 1. Étudier les variations de la fonction f et construire se courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . (On prendra 3 cm comme unité). 2. Montrer que, quel que soit le réel x, on a : f (x)= a cos6x+b cos4x+c cos2x+d , où a, b, c, d sont quatre réels que l'on déterminera. 3. Calculer, en cm2, l'aire de l'ensemble E limité par la courbe (C ), l'axe des abs- cisses et les droites d'équations x = 0 et x = pi6 . EXERCICE 2 Les suites (U )= (Un)n?N et V = (Vn)n?N à termes réels sont définies par : ? ? ? ? ? U0 = 5 U1 = 31 ?n ?N, Un+2 = 12Un+1?35Un ? ? ? ? ? V0 =?1 V1 =?11 ?n ?N, Vn+2 = 12Vn+1?35Vn Les suites X = (Xn)n?N et Y = (Yn)n?N sont alors définies par : ?n ?N, Xn =Un +Vn et Yn =Un ?Vn .

• droites vectorielles


• ?n ?n


• xn etyn en fonctionden


• calcul deun


• anneau commutatif


• calcul pourmon- trer


• plan vectoriel de base ij

Sujets

• Anneau commutatif

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Amiens–Rouen juin 1983\

E X E R C IC E 1 Soitfla fonction numérique deRdansRdéfinie par :

3 f(x)=cos 3x∙cosx. 1.Étudier les variations de la fonctionfet construire se courbe représentative ³ ´ −→−→ (CO,) dans un repère orthonorméı,. (On prendra 3 cm comme unité). 2.Montrer que, quel que soit le réelx, on a :

f(x)=acos 6x+bcos 4x+ccos 2x+d,

oùa,b,c,dsont quatre réels que l’on déterminera. 2 3., l’aire de l’ensembleCalculer, en cmElimité par la courbe (C), l’axe des abs π cisses et les droites d’équationsx=0 etx=. 6

E X E R C IC E 2 Les suites (U)=(U n ) n∈N etV=(V n ) n∈N à termes réels sont définies par :    U 0 =5  V 0 = −1   U 1 =31V 1 = −11     ∀n∈N,U n+2 =12U n+1 −35U n ∀n∈N,V n+2 =12V n+1 −35V n

Les suitesX=(X n ) n∈N etY=(Y n ) n∈N sont alors définies par :

∀n∈N,X n =U n +V n etY n =U n −V n . 1.CalculerX 0 etX 1 . En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que la suiteXest une suite géométrique de raison 5. 2.Montrer de même que la suiteYest une suite géométrique. 3.CalculerX n etY n en fonction den; en déduire le calcul deU n etV n en fonction den. n n 4.Le 3. a montré :∀x∈N,U n =2×5+3×7 . Soitn∈Npose; ond n =P. G. C. D. (U n ,U n+1 ). CalculerU n+1 −5U n et 7U n −U n+1 ; utiliser les résultats de ce calcul pour mon trer qued n est égal à 1 ou à 2. U n etU n+1 sontils premiers entre eux ?

P R O B L È M E ′ SoitMls. Sil’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réeMetM appartiennent àMet siλest un réel, on note : ′ ′ •M+Mla somme des matricesMetM, ′ ′ •M×Mle produit des matricesMetM; •λ∙Mle produit de la matriceMpar le réelλ.

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

On rappelle que (M,+, .) est un espace vectoriel réel et que (M,+,×) est un anneau unitaire. µ ¶µ ¶ 1 01 3 On poseI=etJ=. 1 01−1 Partie AOn désigne parEl’ensemble des matrices de la forme µ ¶ a+b3b , b b−a 2 où (a,b) décritR. 1.Montrer que (E,+, .) est un espace vectoriel dont(I,J) est une base. 2 2.CalculerJ. Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif unitaire. 2 3. a.Trouver les éléments deEtels queM=M. 2 b.Trouver les éléments deEtels queM=I. 4.Montrer queEest l’ensemble des matricesMdeMtelles queM×J=J×M.

Partie B −→ −→−→ −→ −→−→ SoitPun plan vectoriel de base ij et les vecteurse 1 =i−jete 2 =3i+j. Pour tout couple (a,b) de réels, on noteϕ a,b l’endomorphisme dePde matrice µ ¶ a+b3b M a,b =, b b−a ³ ´ −→−→ dans la baseı,. ³ ´ −→−→−→−→ 1.Déterminer les coordonnées dans la baseı,deϕ a,b (e 1 ) etϕ a,b (e 2 ) ; −→−→ comparer ces deux vecteurs àe 1 ete 2 respectivement. 2.Déterminer tous les couples (a,b) de réels pour lesquelsϕ a,b est à la fois non nul et non bijectif; donner alors une base de son image et une base de son noyau. 3.Déterminer les couples (a,b) de réels pour lesquels : a.ϕ a,b est une projection sur une droite vectorielle ; caractériser cette pro jection ; b.ϕ a,b est une symétrie par rapport à une droite vectorielle; caractériser cette symétrie.

Partie C ³ ´ −→−→ SoitPun plan affine associé àPet rapporté au repèreO,ı,. 1.On considère l’application affinefd’endomorphisme associéϕ 1 1 et lissant , 2 4 le pointA(0 ; 1) invariant. Donner la nature defet ses éléments caractéris tiques. ′ ′′ 2.Soitgl’application dePdansPqui au pointM(x;y) associe le pointM(x;y) tel que :  1 3  ′  x=x+y+3 2 2 1 1  ′  y=x−y+1 2 2 a.Montrer quegest une application affine dePsans point invariant et dont l’endomorphisme associé est involutif.

Amiens–Rouen

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juin 1983

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

b.Montrer quegest la composée commutative d’une symétrie affineset −→ d’une translationtdont le vecteur est colinéaire àe 2 Donner les élé ments caractéristiques desett.

3.Déterminer les images du planPparg◦fetf◦g.

Partie D Soithla fonction deRdansRdéfinie par : 4 ¡ ¢ x h(x)= −x+log 3e+1 . 3 (log désigne le logarithme népérien.) x4 −x 1.Montrer que, pour toutxréel,h(x)= +log (3+e ). 3 3 Étudier les variations deh. 2.Montrer que la courbeCreprésentative dehadmet deux asymptotes que l’on précisera. La courbeCcoupetelle ses asymptotes ? ³ ´ −→−→ TracerCO,dans le repère orthonorméı,(unités : 1 cm). Tracer la tangente àCau pointBd’abscisse nulle. 3.Construire les transformés des asymptotes àC, du pointBet de la tangente àCenBpar l’applicationg(définie à la question C. 2.). Utiliser ces résultats pour effectuer sur le graphique un tracé approximatif de l’image deCparg.

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