Baccalauréat C Amiens septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens septembre 1980 \ EXERCICE 1 On considère trois entiers naturels non nuls a, b, c. Le plus grand commun diviseur de a et b est ? ; celui de b et c est ??. Quel est le plus grand commun diviseur de a, b, c ? Sachant que ? = 12, ?? = 18 et que a + b + c = 102, déterminer toutes les valeurs possibles des trois nombres a, b, c. EXERCICE 2 On considère l'équation du second degré dans C ( m2+1)z2+ [1? (2+ i)m]z+1+ i= 0, où m est un paramètre réel. On note z1 et z2 ses racines complexes avec |z1| < |z2|. 1. a. Vérifier que 1 m+ i est l'une des racines. Déterminer l'autre. b. Montrer qu'il existe un couple unique (a;b) ?C??C, indépendant de m tel que : z2 = az1+b, z1 désignant le nombre complexe conjugué de z1. 2. Soit M1 et M2 les points du plan complexe d'affixes respectives z1 et z2. a. Déduire de ce qui précède que M2 est l'image de M1 par une similitude indirecte unique dont on précisera les éléments. b. Montrer que l'ensemble des points M1 d'affixe z1, m décrivant R, est le cercle (?) d'équation x2+ y2+ y = 0 privé de l'un de ses points et préciser ce point

• racine complexe


• symétries vectorielles


• point m2 d'affixe


• réel euclidien


• matrice de ?


• points du plan complexe d'affixes respectives


• applications ?2


• couple unique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1980
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Amiens septembre 1980\

E X E R C IC E 1 On considère trois entiers naturels non nulsa,b,c. Le plus grand commun diviseur ′ deaetbestδ; celui debetcestδ. Quel est le plus grand commun diviseur dea,b,c? ′ Sachant queδ=12,δ=18 et quea+b+c=102, déterminer toutes les valeurs possibles des trois nombresa,b,c.

E X E R C IC E 2 On considère l’équation du second degré dansC ¡ ¢ 2 2 m+1z+[1−(2+i)m]z+1+i=0, oùmest un paramètre réel. On notez 1 etz 2 ses racines complexes avec | z 1 | < | z 2 | . 1 1. a.Vérifier queest l’une des racines. Déterminer l’autre. m+i ⋆ b.Montrer qu’il existe un couple unique (a;b)∈C×C, indépendant dem tel que :z 2 =a z 1 +b,z 1 désignant le nombre complexe conjugué dez 1 . 2.SoitM 1 etM 2 les points du plan complexe d’affixes respectivesz 1 etz 2 . a.Déduire de ce qui précède queM 2 est l’image deM 1 par une similitude indirecte unique dont on précisera les éléments. b.Montrer que l’ensemble des pointsM 1 d’affixez 1 ,mdécrivantR, est le 2 2 cercle (Γ) d’équationx+y+y=0 privé de l’un de ses points et préciser ce point. Déterminer, par ses coordonnées, le centre de ce cercle. En déduire l’en semble des pointsM 2 d’affixez 2 quandmvarie.

P R O B L È M E

Partie A Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie par Logx f(x)= x où Logxdésigne le logarithme népérien dex.

1.Étudier les limites defaux bornes de son intervalle de définition. Étudier les variations defet tracer la représentation graphique (C) defdans ³ ´ −→ −→−→ un plan rapporté au repère orthogonalO,ı,où ° ı ° =5 mm et −→ °  ° =25 mm. ⋆ 2.Pour toutaélément deR, calculer l’intégrale + Z a F(a)=f(x) dx. 1 Déterminer limF(a) et donner une interprétation géométrique du résultat. a→0 a>0

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

Partie B On considère dans cette partie les fonctions numériquesfetgde la variable réelle xdéfinies respectivement par Logx1 f(x)=etg(x)=. x x ⋆ On noteFl’espace vectoriel réel des applications deRdansRet on désigne par E + le sousespace vectoriel deFengendré par la famille (f,g).

1.Montrer que (f,g) est une base de E. ⋆ 2.Pour toutuélément de E et pour toutxar :, on délément d eR + éfinitu 1 p ′ u 1 (x)=x∙u(x). Vérifier queu 1 appartient à E et montrer que l’applicationϕ 1 de E dans E définie, pouruélément de E, parϕ 1 (u)=u 1 est un endomorphisme de E. Vérifier que, dans la base (f,g), la matrice deϕ 1 est   1 −0   2 M 1 =   1 1− 2 3.Id E désignant l’identité de E, déterminer l’unique réelλpour lequelϕ 1 +λId E n’est pas bijectif. Calculer ensuite ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 ϕ 1 +λId E =ϕ 1 +λId E ◦ϕ 1 +λId E pour la valeurλ 0 deλainsi obtenue. 2 4.Pour toutuappartenant à E, on noteϕ(u)=ϕ 1 ( u 1 ) =v 1 . 1 ⋆ Pour toutxapparte àRnt, calcule nant + rv 1 (x) et montrer, après développeme ¡ ¢ 2 ⋆ deϕ 1 +λId E , que tout élémentude E vérifie, pour toutxélément deR + 1 2′′ ′ x u(x)+2xu(x)+u(x)=0. 4 Partie C E étant un espace vectoriel réel euclidien et (f,g) une base orthonormée de E, on définit, pour toutxappartenant àR, les applicationsu 2 etu 3 par µ ¶ 1 1Logx u 2 (x)=uetu 3 (x)=(u(x)+u 2 (x)) x x2 1.Vérifier queu 2 etu 3 sont des éléments de E et que les applicationsϕ 2 etϕ 3 de E dans E, définies, pour toutuélément de E, par µ ¶ 1 1Logx ϕ 2 (u)=uetϕ 3 (u)= ( u(x)+u 2 (x)) x x2 sont des endomorphismes de E. Donner les matricesM 2 etM 3 respectives deϕ 2 etϕ 3 dans la base (f;g). 2.Quelle est la nature géométrique deϕ 2 ? 3 3.SoitΦ=aϕ 1 +bϕ 2 +cϕ 3 avec (a;b;c)∈R? a.Pour quelles valeurs de (a;b;c),Φestelle une rotation vectorielle ? Dans chacun des cas obtenus, indiquer la matrice deΦet les éléments caractéristiques de la rotationΦ.

Amiens

2

septembre 1980

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

b.Pour quelles valeurs de (a;b;c),Φestelle une symétrie vectorielle ? Parmi cellesci existetil des symétries vectorielles orthogonales ? Éven tuellement les préciser. 2 c.En rappelant qu’un projecteurpest caractérisé parp=p, pour quelles valeurs de (a;b;c),Φestelle une projection ? N.B.  Pour les questions b. et c. cidessus, on ne précisera pas les éléments caractéristiques des endomorphismesΦ.

Amiens

3

septembre 1980