Baccalauréat C Amiens septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Amiens septembre 1976 \ EXERCICE 1 1. Résoudre l'équation X 2+X = 0 a. dans Z/7Z ; b. dans Z/6Z. 2. Dans Z/7Z, on considère l'équation X 2+X ?m˙ = 0˙. Discuter suivant les valeurs de m˙, élément deZ/7Z, le nombre de solutions de cette équation. EXERCICE 2 Soit E un espace vectoriel euclidien de base orthonormée (?? ı , ??? , ??k ) directe. Soit ??u = p2 2 (??? ? ?? k ) , ??v = p2 2 (??? + ?? k ) . 1. Déterminer la nature de l'isomètrie vectorielle ? telle que (?? ı , ??? , ??k ) ait pour image (?? ı , ??u , ??v ) . En déduire que (?? ı , ??u , ??v ) est une base orthonormée directe, 2. On considère la rotation vectorielle r d'axe ∆, orienté par ??v et d'angle de me- sure ?. a. Déterminer r (?? ı ) , r (?? u ) , r (?? v ) dans la base (?? ı , ??u , ??v ) . b.

• applications af- fines précédentes


• point invariant


• application ka


• rotations vectorielles


• coefficient directeur de la tangente àc


• coefficient directeur de la tangente


• courbe représentative de l'application ? de r?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1976
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Amiens septembre 1976\

E X E R C IC E 1 2 1.Résoudre l’équationX+X=0 a.dansZ/7Z; b.dansZ/6Z. 2 ˙ 2.DansZ/7Z, on considère l’équationX+X−m ˙ =0. Discuter suivant les valeurs dem ˙ , élément de Z/7Z, le nombre de solutions de cette équation.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace vectoriel euclidien de base orthonorméeı,,kdirecte. p ³ ´³ ´ −→ 2 →− →− −→ 2 →− →− Soitu=−k,v=+k. 2 2 ³ ´ −→−→ −→ 1.Déterminer la nature de l’isomètrie vectorielleϕtelle queı,,kait pour ³ ´ −→−→−→ imageı,u,v. ³ ´ −→−→−→ En déduire queı,u,vest une base orthonormée directe, −→ 2.On considère la rotation vectoriellerd’axeΔ, orienté parvet d’angle de me sureθ. ³ ´³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→ a.Déterminerr ı,r u,r vdans la baseı,u,v. ³ ´³ ´³ ´³ ´ −→−→ −→ −→−→−→ b.Déterminerr ı,r,r kdans la baseı,u,vpuis dans la base ³ ´ −→−→ −→ ı,,k. ³ ´³ ´ ¡ ¢ → →−−→→− →− − ′ ′ ′′ c.En déduire les composantesx;y;zdew=r wdans la baseı,,k −→ en fonction des composantes (x;y;z) dewdans cette même base.

P R O B L È M E Dans tout le problème, le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé ³ ´³ ´ −→−→−→−→ O,ı,. Le plan vectoriel euclidien de baseı,est désigné parπ. Les parties A et B sont totalement indépendantes Une table de valeurs de la fonction exponentielle de base e est donnée en annexe pour faciliter les calculs

Partie A Soitfl’application deR−{1} versRdéfinie par :   f(0)=0 2 x 1  x f(x)= e sixest distinct de 0 et 1 x−1 1.Étudier si les restrictions defaux intervalles ]− ∞]0 ; 1[, ]1 ;; 0[,+∞[ ad mettent des limites aux bornes de ces intervalles. Etudier la variation def(on pourra utiliser le tableau annexe pour calculer des valeurs approchées defaux points où la fonction dérivée s’annule).

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

u 2.Montrer que, pour tout réelunon nul, on a : e−1>u. u e−1 En déduire le signe desur chacun des intervalles ]− ∞; 0[, ]0 ;+∞[. u 3.Soient les applicationsgethdeR−{1} versRdéfinies par : ( 1 x g(x)=f(x)−xe ³ ´ 1 h(x)=xe−1 x a.Montrer que les fonctionsg,h,g+hadmettent des limites que l’on cal culera quandxtend vers+∞ou quandxtend vers−∞. En déduire que ³ ´ −→−→ la courbeCreprésentative defdans le repèreO,ı,admet la droite Δ, dont une équation esty=x+2 comme asymptote. b.Montrer les propriétés suivantes : (∀x∈]1 ;+∞[),g(x)>1 eth(x)>1 (∀x∈]− ∞; 0[),g(x)<1 eth(x)<1 En déduire la position deCpar rapport àΔ. 4.Tracer la courbeC. Préciser la tangente àC5.au point A d’abscisse 0, Partie B aest un réel donné. K a ,T a désignent des applications affines de P dans p. k a ,t a sont les endomorphismes deπassociés respectivement aux applications af fines précédentes. ¡ ¢ ′ ′′ L’applicationK a fait correspondre à tout pointM(x;y) de P le pointM x;yde P tel que : ½ ′ x= −x+a ′ y= −a x+(3−a)y+2 S a est la symétrie centrale de P, de centreI a point défini cidessous en B 1. 1.Montrer que l’applicationK a admet toujours au moins un point invariant. Quel est l’ensemble E des valeurs deapour lesquelles K admet un seul point invariant I a ? 2.On supposea∈E. Montrer queK a ◦Sa=S a ◦K a . On désignera parT a la trans formation composée précédente. ³ ´ ¡ ¢ −→−→ Dans le casa=3, déterminert 0 ( i) ,t 0 j. Exprimer, dans le repèreI 0 ,ı, ¡ ¢ les coordonnées (X 0 ;Y 0 ) deM 0 =T 0 (M) en fonction des coordonnéesx 0 ;y 0 ′ deMdans ce même repère. En déduire une construction simple de l’imageM deMparK 0 . 3.On supposea=3. Montrer queT 3 est une projection que l’on définira avec précision. 4.On supposea=2.K 2 est alors une symétrie par rapport à une droiteDsuivant une directionS. Préciser la droiteDet la directionS. ³ ´ −→−→ métant un réel donné, déterminerk 2 ı+m. Partie C SoitΓl’ensemble des transformés des points deCpar la symétrieK 2 .

Amiens

2

septembre 1976

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

1.Montrer queΓest la courbe représentative de l’applicationψdeR−{1} versR définie par :

ψ(X)=2X−2+f(2−X)

2.Soitmle coefficient directeur de la tangente àCen l’un de ses pointsM(x;f(x)), ′ x∈R−{1}. Quel est le coefficient directeur de la tangente àΓenM=K 2 (M) ? 3.Préciser les asymptotes deΓ. Sans étudier la variation deψ, tracer la courbe ³ ´ −→−→ Γ;ΓetCO,seront dessinées dans le même repèreı,.

x−x Annexe.pour différentes vaet eTableau donnant des valeurs approchées de e leurs dex.

Amiens

x 0,100 0,200 0,250 0,382 0,500 1,000 2,000 2,500 2,618

x e 1,105 2 1,221 4 1,284 0 1,465 2 1,648 7 2,718 3 7,389 1 12,182 13,962

3

−x e 0,904 8 0,818 7 0,778 8 0,682 5 0,606 5 0,367 9 0,135 3 0,0821 0,0716

septembre 1976