Baccalauréat C Antilles–Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1998 \ EXERCICE 1 4 POINTS Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c'est un double. 1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscer- nables au toucher, sont mis dans un sac. 2. On tire simultanément trois dominos du sac. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ? 3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des évè- nements suivants : a. J2 : « Le jaune figure deux fois » b. J1 : « Le jaune figure une seule fois » c. J : « Le jaune figure au moins une fois » 4. On effectue n tirages successifs d'un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn , que J soit réalisé au moins une fois. Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle pn > 0,99.

• jaune figure


• c3 sur la figure fournie


• position relative de la courbe c1


• courbe c2


• solution de l'équation différentielle


• aire vn du trapèze pnmnmn

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1998
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• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1998\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs :violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l’une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c’est un double. 1.Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscer nables au toucher, sont mis dans un sac. 2.On tire simultanément trois dominos du sac. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ? 3.abilité des évèDans cette question, on tire un seul domino. Calculer la prob nements suivants : a.J 2 : « Le jaune figure deux fois » b.J 1 : « Le jaune figure une seule fois » c.J : « Le jaune figure au moins une fois » 4.On effectuentirages successifs d’un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. Calculer, en fonction den, la probabilitép n , que J soit réalisé au moins une fois. Calculer la plus petite valeur de l’entier naturelnpour laquellep n > 0, 99.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Partie AOn considère le polynômePde la variable complexezdéfini par : p 4 32 P ( z ) =z+2 3z+8z+2 3z+7 1. a.CalculerP(i) etP ( −i) . b.Montrer qu’il existe un polynômeQdu second degré, que l’on détermi nera, tel que : ¡ ¢ 2 pour toutz∈C,P ( z ) =z+1Q ( z ) 2.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équationP ( z ) =0.

Partie B ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormal directO,u,v(unité graphique 2 cm). 1.Placer dans ce repère les points A, B, C et D d’affixes respectivesz A =i, p z B = −i,z C = −3 etz D = −3−2i. Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre [CD]. 2.Montrer qu’il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calculer une valeur entière approchée à un degré près d’une mesure de l’angle de cette rotation. 3.Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport : z B −z C z A −z C Interpréter géométriquement le module et l’argument de ce rapport.

Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 P O IN TS Partie A : étude de fonctions On considère les fonctionsf 1 ,f 2 ,f 3 définies surRpar : −x−x−x f 1 ( x ) = ( x+1) ef 2 ( x ) = −xef 3 ( x ) = ( x−1) e On appelleC 1 ,C 2 ,C 3 leurs courbes représentatives respectives dans un repère or ³ ´ −→−→ thogonal O,ı,du plan. Les courbesC 2 etC 3 sont données sur le graphique cidessous. 1.Étude de la fonctionf 1 ′ a.Calculer la dérivéefdef 1 et étudier son signe. En déduire les variations 1 def 1 . b.Déterminer les limites def 1 en+∞, en−∞. c.Dresser le tableau de variation def 1 . 2.étude graphique. a.Identifier sur la figure donnée les courbesC 2 etC 3 et placer sur le dessin ³ ´ −→−→ le repèreO,ı,. b.Étudier la position relative des courbesC 1 etC 3 . c.TracerC 1 dans le même repère queC 2 etC 3 sur la figure fournie. 3.Étude d’équations différentielles. a.Montrer quef 1 est solution de l’équation différentielle : ′ −x ( E 1 ) y+y=e b.Montrer quef 1 est aussi solution de l’équation différentielle : ′′ ′ ( E 2 ) y+2y+y=0

c.Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E 2 ) .En dé duire quef 2 etf 3 sont aussi des solutions de (E 2 ) . d.Parmi les solutions de (E 2 quelles sont celles qui sont aussi solutions) , de (E 1 ) ?

Partie B : étude d’aires liées àC 1 etC 2 Pournentier strictement positif, on appelleM n le point deC 3 d’abscissenln 2.On pose :

f ( x ) =f 1 ( x ) −f 3 ( x ) pour toutxréel. 1.Calculer, en unités d’aire, l’aireU n du domaine plan limité par la courbeC 3 , la courbeC 1 et les segments [M n ,P n ] et [M n+1 P n+1 ] pourn>0.P n etP n+1 sont ³ ´ −→ les projections orthogonales respectives deM n etM n+1 ;sur Oı. 2.Calculer, en unités d’aire, l’aireV n du trapèzeP n M n M n+1 P n+1 pourn>0. V n Montrer que le rapportest constant. U n

Antilles–Guyane

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Le baccalauréat de 1988

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Annexe

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A. P. M. E. P.

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