Baccalauréat C Antilles Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1981 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f la fonction numérique de la variable x définie par f (x)= log(e2x ?3ex +2) . 1. Étudier la fonction f et construire sa courbe représentative C dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. On montrera notamment que la droite d'équation y = 2x est asymptote à la courbe C . 2. Soit g la restriction de f à l'intervalle ] log2 ; +∞[. Montrer que g admet une fonction réciproque g?1. Calculer g?1(x). EXERCICE 2 3 POINTS n étant un entier relatif quelconque, on considère les entiers relatifs a et b définis par a = n3?2n+5 ; b = n+1. 1. Montrer que P.G.C.D. (a, b) = P.G.C.D. (b, 6). 2. Pour quelles valeurs de n, a-t-on, P.G.C.D.(a, b)= 3 ? 3. Déterminer n pour que le nombre a b soit un entier relatif. PROBLÈME 3 POINTS On appelle F l'ensemble des applications de R dans R deux fois dérivables sur R. On sait que F, muni de l'addition des applications et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R.

• ?n


• addition des applications et de la multiplication


• base bk


• loi ? de composition des applications

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C AntillesGuyanejuin 1981\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Soitfla fonction numérique de la variablexdéfinie par ¡ ¢ 2x x f(x)=log e−3e+2 . 1.Étudier la fonctionfet construire sa courbe représentativeCdans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. On montrera notamment que la droite d’équationy=2xest asymptote à la courbeC. 2.Soitgla restriction def;à l’intervalle ]log 2+∞[. Montrer quegadmet une −1−1 fonction réciproqueg. Calculerg(x).

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS nétant un entier relatif quelconque, on considère les entiers relatifsaetbdéfinis par

3 a=n−2n+5 ;b=n+1. 1.Montrer que P.G.C.D. (a,b) = P.G.C.D. (b, 6). 2.Pour quelles valeurs den, aton, P.G.C.D.(a,b)=3 ? a 3.Déterminernsoit un entier relatif.pour que le nombre b

P R O B L È M E 3 P O IN TS On appelleFl’ensemble des applications deRdansRdeux fois dérivables surR. On sait que F, muni de l’addition des applications et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel surR. ′ ′′ Sifest un élément deF, on notefla fonction dérivée defetfla fonction dérivée seconde def. Partie A ωétant un réel non nul, on considère le sousensembleE ω deFdes applicationsf qui vérifient ′′2 f= −ωf. 1.Démontrer queE ω est un sousespace vectoriel deF. 2.On considère les fonctions numériquesǫ 1 etǫ 2 définies pour toutxréel par

ǫ 1 (x)=cosωxetǫ 2 (x)=sinωx. Montrer que {ǫ 1 ,ǫ 2 } est une partie libre deE ω . 3.Montrer que, quel que soit l’élémentfdeF, il existe deux fonctions numé riquesuetvde la variablex, dérivables surtelles que pour toutxréel : ½ f(x)=u(x)ǫ 1 +v(x)ǫ 2 (x) ′ ′′ f(x)=u(x)ǫ+v(x)ǫ(x). 1 2

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

4.Montrer que la condition nécessaire et suffisante pour quefsoit élément de E ω est que pour toutxréel

′ ′ u(x)=v(x)=0.

En déduire que (ǫ 1 ,ǫ 2 ) est une base deE ω . ′′ 5.Résoudre dansFl’équationf+9f=0. Montrer qu’il existe une solution unique telle que p 2 ′ f(0)=3 etf(0)=. 2 6.Montrer que, quel que soit l’entier naturelnnon nul, tout élémentfdeE ω est nfois dérivable surR. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que pour toutxréel ³ ´ nπ (n)n f(x)=ωf x+. 2ω (0) (n) oùf=fet pour tout entier naturelnnon nulfest la fonction dérivée d’ordrendef.

Partie B Dans la suite du problème on donne àωlà valeur 1. On appellee 1 ,e 2 ,u k les fonctions numériques de la variable réellexdéfinies par e 1 (x)=cosx,e 2 (x)=sinx,u k(x) =k, oùkest un réel strictement positif. On considère l’espace vectoriel H engendré pare 1 ,e 2 ,u k . 1.Montrer queB k = ( e 1 ,e 2 ,u k ) est une base de H et queE 1 est un sousespace vectoriel de H dont on donnera une équation dans la baseB k . En déduire que tout élémentgde H s’écrit de façon unique,g=f+aoùfest un élément deE 1 et a une fonction constante. 2.Montrer que l’on peut définir une applicationΦde H×H dansR, qui à tout ¡ ¢ élémentg 1 ,g 2 de H×H associe Z ¡ ¢ 1 Φg 1 ,g 2 =g 1 (t)∙g 2 (t) dt. 2π π 0 ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ ExprimerΦg 1 ,g 2 en fonction des coordonnéesα 1 ;β 1 ;γ 1 etα 2 ;β 2 ;γ 2 deg 1 etg 2 dans la baseB k . 3.Montrer queΦest un produit scalaire. Déterminerkpour que la baseB k soit orthonormée pour ce produit scalaire. Partie C On munit H de la multiplication scalaireψet on rapporte H à la base orthonormée p B 2 . 2 ′′ 1.SoitΨl’application qui à tout élémentgde H associeΨ(g)=g. Montrer queΨest un endomorphisme de H. On note I l’application identique dans H. Montrer queΨest la composée de l’application (−I) et d’une application que l’on caractérisera.

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A. P. M. E. P.

2.Pour tout entier natureln, on considère l’applicationϕ n de H vers F, qui à tout élémentgde H tel queg=f+aassocie la fonction

n+1 (n) ϕ n (g)=(−1) [f+a]. a.Montrer queϕ n est un endomorphisme de H et que

ϕ n+4 =ϕ n . b.En déduire, suivant l’entiern, l’expression analytique deϕ n dans la base p B 2 . 2 c.Déterminer suivant les valeurs den, la nature deϕ n et préciser, dans chacun des cas, ses éléments remarquables. d.SoitΘ n la restriction deϕ n au plan vectorielE 1 . Montrer que l’ensemble { Θ 0 ,Θ 1 ,Θ 2 ,Θ 3 } muni de la loi◦de composition des applications est un groupe commutatif.

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