Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1991\ EXERCICE 1 4 points Soit D une droite du plan et F un point dont la distance à D est égale à 3, l'unité étant le centimètre. Soit ∆ la droite passant par F et orthogonale à D. On considère ? un réel tel que 06 ? < pi2 . 1. Soit ?? l'ensemble des points M du plan tels que MF MH = cos?, H désignant leprojeté orthogonal de M sur la droite D. Donner, suivant les, valeurs de ?, la nature de ??. 2. Tracer ??, cas où ? = 0. 3. a. Soit ? = pi3 . Déterminer les sommets A et A ? de ? pi3 situés sur ∆, le centre O et le deuxième foyer F? de ? = pi3 . Tracer ? = pi 3 . b. Déterminer l'équation cartésienne de ? = pi3 dans le repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) où O est le centre de ? = pi3 et ?? u un vecteur unitaire de la droite ∆. EXERCICE 2 4 points Soit d un réel strictement positif. Dans le plan orienté, on considère le carré OABC de centre I tel que : { (???OA ,???OC ) = + pi 2 OA = d . Soit J le milieu de [OI].

• plan orienté


• repère orthonormal


• équation cartésienne de ?


• vn


• similitude plane directe


• pi3

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1991
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C AntillesGuyane juin 1991\

E X E R C IC E 1 4points Soit D une droite du plan et F un point dont la distance à D est égale à 3, l’unité étant le centimètre. SoitΔla droite passant par F et orthogonale à D. π On considèreθun réel tel que 0 6 θ<. 2 MF 1.SoitΓ θ l’ensemble des pointsMdu plan tels que=cosθ, H désignant le MH projeté orthogonal de M sur la droite D. Donner, suivant les, valeurs deθ, la nature deΓ θ . 2.TracerΓ θ , cas oùθ=0. π ′ 3. a.Soitθ=de. Déterminer les sommets A et AΓsitués surΔ, le centre π 3 3 π π ′ O et le deuxième foyer Fdeθ=. Tracerθ=. 3 3 π b.Déterminer l’équation cartésienne deθ=dans le repère orthonormal 3 ³ ´ −→−→ π −→ O,u,voù O est le centre deθ=etuun vecteur unitaire de la 3 droiteΔ.

E X E R C IC E 2 Soitdun réel strictement positif. Dans le plan orienté, on considère le carré OABC de centre I tel que : ( ³´ −→−→ π OA ,OC= + 2 OA=d. Soit J le milieu de [OI]. C B

J

I

O A ½ f(O)=I 1.Soitfla similitude plane directe telle que : f(A)=J. a.Déterminer l’angle et le rapport def. ′ b.Construire C=f(C). Déterminerf(B).

4 points

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

c.SoitΩle centre de la similitudef. Montrer que les points (Ω, O, I, C) d’une part et (Ω, O, A, J) d’autre part sont cocycliques. En déduire une construction deΩ. d.Montrer que les droites (OΩ) et (ΩC) sont orthogonales. ³ ´ −→−→ 2.O,Le plan est rapporté au repère orthonormalu,vdirect tel que A ait pour affixed. Déterminer la forme complexe def.

P R O B L È M E 12 points Kdésignant un nombre réel, l’objet de ce problème est l’étude de certaines fonc tionsf K définies sur ]0 ;+∞[ par : ln x lnx f K (x)= +Klnx. x A

Dans cette partie, nous supposerons queK=0. Soitfla fonction numérique définie sur ]0 ;+∞[ par lnx f(x)=. x 1.Étudier les variations def. On appelle (C 0 ) la représentation graphique defdans un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,, (unité graphique : 1 cm). Tracer (C 0 ). 2 2., de la portion du plan comprise entre l’axe des absCalculer l’aire, en cm cisses, la courbe (C 0 ) et les droites d’équationsx=1 etx=e. B Études des dérivées successives de la fonctionfdéfinie dans la partie A ′′ 1.Calculerf(x),xappartenant à ]0 ;+∞[. ∗ 2.Montrer par récurrence que, pour toutndeN, on peut définir deux suites réellesU Vtelles que : ( n ) n∈ et ( n ) n∈N N

avec

(n) U n +V n lnx f(x)= n+1 x

U 1 =1 ; V 1 = −1 ; U n+1 =V n −(n+1)U n pourn > 1 ; V n+1 = −(n+1)V n pourn > 1. (n)∗ oùfdésigne, pour tout entierndeN, la dérivéenième def. 3. a.ExprimerV n en fonction den. ∗ b.Montrer par récurrence que, pour toutndeN, on a : · ¸ 1 1 n+1 U n =(−1)n! 1+ +. . .+. 2n

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

C Étude de certaines fonctionsf K , oùKest un réel strictement positif On rappelle quef K est définie sur ]0 ;+∞[ par lnx f K (x)= +Klnx x 1 1 On donneK 1 =etK 2 =. 2 2 e 2e 1.Déterminer les limites def K aux bornes de l’ensemble de définition. ′ 2.Calculerf(x) pour toutxstrictement positif. K 3.On appellet K la fonction numérique définie sur ]0 ;+∞[ par :

t K (x)=1−lnx+K x. a.Étudier les variations det K . b.Montrer que, pour toutxde ]0 ;+∞[,t K (x) > 0. s ]0;+∞[. c.En déduire le tableau de variations def K 1 ur d.Montrer que l’équationt K (x)=0 admet deux solutionsαetβdans l’in 2 tervalle ]0 ;+∞[. e.En déduire le sens de variation defsur ]0 ;+∞[. K 2

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