Baccalauréat C Asie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Asie juin 1998 \ EXERCICE 1 4 POINTS Le plan complexe P est rapporté à un repère direct ( O, ??u , ??v ) , ayant comme unité graphique 3 cm. Les nombres complexes z1, z2, z3, z4, z5 et z6 que l'on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme expo- nentielle (?ei?). 1. Résoudre dans C l'équation : z2? zp3+1= 0. On pose z1 = p3+ i 2 et z2 = p3? i 2 . Exprimer z1 et z2 sous forme exponentielleet placer les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 dans le plan P . 2. Soit r la rotation de centre O et d'angle 2pi3 .Calculer l'affixe z3 du point M3 = r (M2). Placer M3 sur la figure précédente. 3. Soit t la translation dont le vecteur ~w a pour affixe - p3+ i 2 . Calculer l'affixe z4 du point M4 = t(M2). Placer M4 sur la figure. 4. Soient z5 = i2 (1+ i p3) et z6 = 2i?p3 . Exprimer z5 et z6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle. Placer les points M5 et M6 d'affixes respectives z5 et z6 sur la figure. 5.

• affixe - p3


• théorème de l'inégalité des accroissements finis


• placer m3 sur la figure précédente


• affixe z4 du point m4


• affixe z3 du point m3

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1998
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Asie juin 1998\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan complexePest rapporté à un repère directO,u,v, ayant comme unité graphique 3 cm. Les nombres complexesz 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 ,z 5 etz 6 que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme expo iθ nentielle (ρe ).

2 1.Résoudre dansCl’équation :z−z3+1=0. p 3+i 3−i On posez 1 =etz 2 =. Exprimerz 1 etz 2 sous forme exponentielle 2 2 et placer les points M 1 et M 2 d’affixes respectivesz 1 etz 2 dans le planP. 2π 2.Soitr.la rotation de centre O et d’angle 3 Calculer l’affixez 3 du point M 3 =r(M 2 ). Placer M 3 sur la figure précédente. 3+i 3.Soittla translation dont le vecteurw ~ .a pour affixe  2 Calculer l’affixez 4 du point M 4 =t(M 2 ). Placer M 4 sur la figure. i 2 4.Soientz 5 =(1+eti 3)z 6 =. 2 i−3 Exprimerz 5 etz 6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle. Placer les points M 5 et M 6 d’affixes respectivesz 5 etz 6 sur la figure. 6 5. a.Calculerzpourk∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}. k b.Écrirez 6 +1 sous forme d’un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Les questions 1 et 2 sont indépendantes. N* est l’ensemble des entiers strictement positifs. Z e n Pour tout entierndeN*, on considère l’intégrale :I n =(lnx) dx. 1 1. a.Démontrer que pour toutxdans l’intervalle ]1 ; e[, et pour toutnentier naturel, on a :

n n+1 (lnx)−(lnx)>0 b.En déduire que la suite (I n ) est décroissante. 2. a.CalculerI 1 à l’aide d’une intégration par parties. b.Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour toutn∈N*, I n =e−(n+1)I n . c.En déduireI 2 ,I 3 etI 4 . Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction −3 de e, et les valeurs approchées à 10près par défaut. 3. a.Démontrer que, pour toutn∈N*,I n > 0. b.Démontrer que, pour toutn∈N*, (n+1)I n 6 e. c.En déduire la limite deI n . d.Déterminer la valeur den I n +(I n +I n+1 ) et en déduire la limite den I n .

Le baccalaurÈat de 1990

A. P. M. E. P.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,, l’unité graphique étant 1 cm. 1.Soit (C) la courbe dont une représentation paramétrique est :  1  2  x=f(t)=(t+2) 2 ,t∈R 1  3  y=g(t)=(t+2t) 2 a.Montrer que (C) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses. b.Étudier conjointement les variations des fonctionsfetgsur [0 ; +∞[. c.Préciser la tangente au point de paramètret=0. d.Tracer la courbe (C). 2 2.Soit (P) la parabole d’équationy=4x. a.Tracer (P) dans le même repère que (C). b.Vérifier qu’une représentation paramétrique de (P) est : ½ 2 x(t)=t ,t∈R y(t)=2t c.Soit (D t ) la tangente à (P) au pointM t de coordonnées (x(t) ;y(t)). Soit (Δ t ) la perpendiculaire à (D t ) au pointM t . Montrer qu’une équation car tésienne de (Δ t ) est :

3 Y= −t X+t+2t.

d.Pourt∈R*, (Δ t ) coupe l’axe des abscisses en un pointA t et l’axe des ordonnées en un pointB t . On appelleI t le milieu du segment [A t B t ]. Exprimer en fonction detles coordonnées du pointI t .

P R O B L È M E

I Soit la fonctiongdéfinie surR, qui à toutxassocie : x2 g(x)=e (x−1)+x. 1. a.Montrer que la dérivée de la fonctiongsurRest ′x g(x)=x(e+2)

11 P O IN TS

b.Déterminer les limites degen+∞et en−∞. ′ c.Étudier le signe deg(x) surR, et dresser le tableau de variation degsur R. 2.Montrer que l’équation :g(x)=0 admet une solutionαet une seule sur l’in · ¸ 1 tervalle [0 ;+∞[. Montrer queαest dans l’intervalle I=.; 1 2

Asie

II

2

juin 1998

Le baccalaurÈat de 1990

A. P. M. E. P.

Soit la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par : x e f(x)= x e+x 1.Montrer que les équations :f(x)=xetg(x)=0 sont équivalentes sur [0 ;+ ∞[, et que, par suite, l’équationf(x)=xadmetαpour solution unique sur I. 2. a.Calculer la dérivée defet en déduire le sens de variation defsur [0 ;+∞[. b.Déterminer la limite defen+ ∞[. c.Dresser le tableau de variation def. d.Construire la courbe représentativeCdefsur [0 ;+∞[ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes àC aux points d’abscisses 0 et 1. III 1.Montrer que, pour toutxappartenant àI,f(x) appartient àI. ( 1 u 1 = 2.Soit la suite (u) n u∈N définie par 2 u n =f(u n−1 ) pour toutn>1 ∗ a.Montrer que, pour toutn∈N,u n ∈I. 1 ′ b.Montrer que, pour toutx∈I,|f(x)| 6 . 2 c.En appliquant le théorème de l’inégalité des accroissements finis, dé montrer que : 1 pour toutn>1,|u n −α| 6 |u n−1 −α|. 2 ∗ d.En déduire, par un raisonnement par récurrence, que pour toutn∈N,|u n − µ ¶ n 1 α| 6 . 2 e.En déduire que (u n ) converge versα. f.A priorinir, combien suffitil de calculer de termes de la suite pour obte −7 une valeur approchée deαà 10près ? 3.En utilisant la décroissance def, montrer queαest compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement deαd’am −7 plitude 10.

Asie

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juin 1998