Baccalauréat C Asie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Asie 1 juin 1990 \ EXERCICE 1 4 POINTS On prend six cartons identiques. Sur chaque carton on écrit une, et et une setle, des six lettres du mot FRANCE ; chacune des lettres de ce mot est utilisée. On place ces cartons dans une urne. On les en extrait au hasard un à un, chaque carton ayant la même probabilité d'être tiré, et on note les lettres obtenues dans l'ordre de leur apparition. 1. Calculer, dans l'hypothèse où ces six tirages se font sans remise, les probabili- tés des évènements suivants. a. On obtient les lettres du mot FRANCE dans l'ordre. b. On obtient dans l'ordre de leur apparition, les trois premières lettres FRA du mot FRANCE et les trois autres lettres dans le désordre. 2. Reprendre les questions ci-dessus lorsque les six tirages s'effectuent en remet- tant à chaque fois dans l'urne le carton obtenu. EXERCICE 2 5 POINTS A B O H I ∆ Soit ABO un triangle équilatéral du plan orienté tel que (???OA , ???OB ) = 2pi 3 (à 2pi près).On note H le milieu de [AB], I celui de [OB] et ∆ la médiatrice de [AB]. On note s la similitude plane directe de centre O transformant le point A en I.

• a4 de la courbe représentative


• solution négative


• e?2t dt


• axe des abscisses


• unique solution

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1990
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1990Baccalauréat C Asie\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS On prend six cartons identiques. Sur chaque carton on écrit une, et et une setle, des six lettres du mot FRANCE ; chacune des lettres de ce mot est utilisée. On place ces cartons dans une urne. On les en extrait au hasard un à un, chaque carton ayant la même probabilité d’être tiré, et on note les lettres obtenues dans l’ordre de leur apparition. 1.Calculer, dans l’hypothèse où ces six tirages se font sans remise, les probabili tés des évènements suivants. a.On obtient les lettres du mot FRANCE dans l’ordre. b.On obtient dans l’ordre de leur apparition, les trois premières lettres FRA du mot FRANCE et les trois autres lettres dans le désordre. 2.Reprendre les questions cidessus lorsque les six tirages s’effectuent en remet tant à chaque fois dans l’urne le carton obtenu.

E X E R C IC E 2

A

O

H

I

B

5 P O IN TS

Δ ³ ´ −→−→ 2π Soit ABO un triangle équilatéral du plan orienté tel queOA ,OB=(à 2πprès). 3 On note H le milieu de [AB], I celui de [OB] etΔla médiatrice de [AB]. On notest A en I.la similitude plane directe de centre O transformant le poinM ′ désigne un point quelconque du plan etMson image pars.

1. a.Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directes. b.Construire le point C du plan tel ques(C) = A. On justifiera soigneuse ment cette construction. ′ c.Exprimer AMen fonction de CM. ′′ 2.On noteMl’image du pointMpar la réflexion d’axeΔ. On se propose de déterminer l’ensemble (Γ) des pointsMdu plan tels que A soit équidistant de ′ ′′ MetM. 1. Japon,HongKong, Singapour

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

′′ a.Montrer que AM= BM. b.Montrer queMappartient à (Γ) si, et seulement si, CM= 2BM. c.Déterminer la nature de (Γ), puis construire (Γ).

P R O B L È M E 11 P O IN TS 1.On considère la fonction numériquefdéfinie surRpar : ¡ ¢ 2 2−x f(x)=exp−x, c’estàdiref(x)=e . a.Étudierf(parité, sens de variation, limites). b.On désigne par (C) la courbe représentative defdans un repère or ³ ´ −→−→ thonormal O,ı,. Tracer la portion de (C) délimitée par ses points d’abscisses−2 et 3. 2.On se propose dans cette partie d’étudier l’équation (E) :f(x)=x. a.Montrer que (E) ne peut avoir de solution négative. A l’aide de l’étude des variations de la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :

g(x)=f(x)−x montrer que l’équation (E) admet une unique solutionα, puis queαap partient à l’intervalle I = [0,5 ; 0,8]. ′ b.Préciser le sens de variation de la fonctionf(dérivée def) sur l’inter valle I. En déduire que pour toutxélément de I on a : Ã ! 2 ′ ′′ ¯ ¯ f(x) 6 fpuis que|f(x)| 6 0, 9. ¯ ¯ 2 c.On définit une suite (u) deréels par : n n ∈N ½ u 0 =0, 5 pour tout entier natureln. u n+1 =f ( u n ) i. Montrerque, pour tout entier natureln,u n appartient à I. ii. Montrer,à l’aide de l’inégalité des accroissements finis, que pour tout entier natureln:

| u n+1 −α | 6 0, 9 | u n −α | .

En déduire que, pour tout entier natureln:

n | u n −α | 6 0, 3×(0, 9). Quelle est la limite de (u n ) n∈N ? 3.Dans cette partie, on se propose d’étudier la fonction numériqueFdéfinie sur Rpar : Z x 2 −t F:x−7→F(x)=e dt 0 c’estàdire la primitive defs’annulant au pointx=0. On ne cherchera pas à calculer cette intégrale. a.Étudier le sens de variation deF.

Asie

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Le baccalauréat de 1990

Asie

A. P. M. E. P.

b.Interpréter géométriquementF(x) pourxpositif puis pourxnégatif. En déduire queFest impaire. c.que pour touti. Vérifiertsupérieur ou égal à 2 on a :

2 −t−2t e 6 e . En déduire que, pour toutxsupérieur ou égal à 2, on a : Z x −2t F(x)−F(2) 6 e dt. 2 Z x −2t ii. Calculere dt. 2 1 −4 En déduire que, pourx > 2 :F(x)−F(2) 6 e ,puis queFest 4 majorée surR. iii. Onadmet queFa une limiteℓen+∞. Montrer que :

−2 0 6 ℓ−F(2) 6 1O. iv. Onconsidère les pointsA 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 de la courbe représentative 1 3 (C) def, 1,et 2.définie au 1., d’abscisses respectives 0, 2 2 Calculer à l’aide de la calculatrice l’aire de la partie du plan délimitée par la ligne polygonaleA 0 A 1 A 2 A 3 A 4 l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=2. Ce nombre est une valeur approchée deℓ dont on ne demande pas la précision. d.En rassemblant les résultats préçédents, donner l’allure de la courbe re présentative deF.

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