Baccalauréat C Bordeaux juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS n étant un entier relatif quelconque, on pose : A =n?1 et B =n2?3n+6 1. a. Montrer que le p.g.c.d. de A et B est égal au p.g.c.d. de A et 4. b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le p.g.c.d. de A et B . 2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif n, le nombre n 2?3n+6 n?1 est-il un entierrelatif ? EXERCICE 2 3 POINTS Dans E, plan affine euclidien, A, B et C sont les sommets d'un triangle équilatéral, tels que ? ? ? ???AB ? ? ?= ? ? ? ???AC ? ? ?= ? ? ? ???BC ? ? ?= d , où d est un réel positif non nul. 1. Déterminer l'ensemble des réels a tels que les points A, B, C affectés respecti- vement des coefficients a, 1, 1, admettent un barycentreGa . Quel est l'ensemble des points Ga ainsi obtenus ? 2. On prend a = 1. Déterminer le pointG1 correspondant. On pose f1(M)=MA2+MB2+MC2.

• ???bc ?


• réelle positive


• symétries vectorielles


• élé- ments inversibles


• respecti- vement des coefficients


• coordonnées


• variable réelle

Sujets

• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Bordeaux juin 1977\

E X E R C IC E 1 nétant un entier relatif quelconque, on pose :

4 P O IN TS

2 A=n−1 etB=n−3n+6 1. a.Montrer que le p.g.c.d. de A et B est égal au p.g.c.d. deAet 4. b.Déterminer, suivant les valeurs den, le p.g.c.d. deAetB. 2 n−3n+6 2.Pour quelles valeurs de l’entier relatifn, le nombreestil un entier n−1 relatif ?

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS Dans E, plan affine euclidien, A, B et C sont les sommets d’un triangle équilatéral, −→−→−→ tels que ° AB ° = ° AC ° = ° BC ° =d, oùdest un réel positif non nul.

1.Déterminer l’ensemble des réelsatels que les points A, B, C affectés respecti vement des coefficientsa, 1, 1, admettent un barycentreG a . Quel est l’ensemble des pointsG a ainsi obtenus ? 2.On prenda=1. Déterminer le pointG 1 correspondant. 2 2 2 On posef 1 (M)=MA+MB+MC .Déterminer l’ensemble des pointsMtels 2 quef 1 (M)=2d. 3.On prenda= −2. −→−−→−−→−−→ Montrer que le vecteurV(M)= −2MA+MB+Mun vecteur indépenC est dant deMqu’on précisera. 2 2 2 Déterminer l’ensemble des pointsMtels quef 2 (M)= −2MA+MB+MC soit égal à 0.

P R O B L È M E

13 P O IN TS

Partie A ³ ´ −→−→ SoitPun plan vectoriel muni d’une baseı,. Pour tout couple (a;b) de réels, on définit une application linéaire dePdansP, notéeϕ a,b dont la matrice dans la ³ ´ −→−→ baseı,est : µ ¶ a−b b 0a+b On désigne parAl’ensemble des applications linéairesϕ a,b lorsqueaetbdécrivent R.

1. a.Quelle est la nature deϕ 1, 0 ? b.Montrer queϕ 1, 0 est une symétrie vectorielle dont on précisera les élé ments caractéristiques.

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

c.Montrer queAest un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel des ap ¡ ¢ plications linéaires dePdansPet vérifier queϕ 1, 0 ;ϕ 0, 1 est une base deA. Quelles sont les coordonnées deϕ a,b dans cette base ? Pour faire, de l’ensembleEdes applications linéaires dePdansP, un espace vectoriel surR, on définit les opérations + et . comme suit : •sifetgsont dansE,f+gest défini par : ³ ´³ ´³ ´ −→ −→−→ (f+g)x=f x+g x.

•sifest dansE, etλdansR,λ∙fest défini par : ³ ´³ ´ −→−→ (λ∙f)x=fλx.

2.On munitAde la loi d’addition des applications linéaires dePdansPnotée + et de la loi de composition des applications linéaires dePdansPnotée◦. Montrer que (A,+,◦) est un anneau commutatif, unitaire. Déterminer les élé ments inversibles de cet anneau.

Partie B ³ ´ −→−→ Soit (P) un plan affine d’espace vectoriel associé àP. On munit (P) du repèreO,ı,. Pour tout réelbnon nul, on notef b l’application affine de (P) dans (P) qui au point mde coordonnées (x;y) associe le pointMde coordonnées (X;Y) défini par ½ X= −b x+b y+1 Y=b y

1.Vérifier que l’application linéaire associée àf b appartient à l’ensembleAdé fini à la partie A. 2.Déterminer, suivant les valeurs deb, l’ensemble des points invariants parf b . 3. a.On suppose :b=1. Montrer quef 1 est la symétrie par rapport à la droite ′ d’équationy=2x−1 parallèlement à l’axexOx. b.On suppose :b= −1. Montrer quef 1 est la composée commutative d’une symétrie par rapport à une droite contenant O et d’une translation. c.On suppose :b6=1 etb6= −1. Montrer quef best la composée commu tative d’une homothétie et d’une symétrie par rapport à une droite.

Partie C ³ ´ −→−→ On suppose maintenant que (P) est un plan affine euclidien et que le repèreO,ı,est orthonormé. On considère le mouvement d’un pointmde (P) dont les coordonnées sont données par : ½ t x= −2t+2e+1 ,tréel quelconque. (test la date) t y= −2t+4e+1 On note (γ) la trajectoire du pointmlorsquetdécritR.

1.Montrer que (γ) admet en chacun de ses points une tangente et montrer qu’il existe un unique point A de (γ), que l’on déterminera, tel que la tangente en A ′ à (γ) soit parallèle à l’axeyOy. 2.SoitMle transformé du pointmpar la symétrief 1 définie à la partie B. Quelles sont, en fonction det, les coordonnées (X;Y) du pointM? CalculerYen fonction deX.

Bordeaux

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juin 1977

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

3.Soit la fonction numériqueFdéfinie par µ ¶ 2 F(X)=2Log+2X−1 X−1 (Xétant une variable réelle qui parcourt l’ensemble de définition deFque l’on précisera). Étudier cette fonctionFet tracer sa représentation graphique (Γ) relativement ³ ´ −→−→ au repèreO,ı,. Pour étudier le comportement deF(X) pourX→ +∞, F(X) on recherchera les limites, pourX→ +∞, deet deF(X)−2X. X Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (Γ) et de la droite d’équa ³ ´ −→−→ tionY=2X−1 dans le repèreO,ı,. 4.Déduire des questions précédentes le tracé de la trajectoire (γ) du pointm.

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juin 1977