Baccalauréat C Bordeaux septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1979 \ EXERCICE 1 5 POINTS Étant donné un entier relatif n on considère les entiers relatifs : A = 3n+4 et B = 9n?5. 1. Déterminer, suivant les valeurs de n, le plus grand commun diviseur de A et B . 2. Déterminer les valeurs de n pour que le plus grand commun diviseur de A et B soit égal à 17 et le plus petit commun multiple de A et B soit égal à 884. EXERCICE 2 3 POINTS On considère un plan affine E rapporté à un repère affine ( O, ??ı , ??? ) . Soient A le point de coordonnées (1 ; 2) et A? le point de coordonnées (3, ; 4). On désigne par f l'application affine de E dans E qui transforme A en A? et dont l'endomorphisme associé ? vérifie les deux propriétés : a. ? est involutif b. ? (?? ı ) = ?? ı +2??? . 1. f est-elle bijective ? 2. Déterminer ? (??? ) . 3. Trouver les coordonnées (x1 ; y1 ) du point M1 transformé d'un point M de coordonnées (x ; y) par l'application f . 4. f est-elle involutive ? f possède-t-elle des points invariants ? PROBLÈME 12 POINTS On désigne par F l'ensemble des fonctions numériques, définies sur R, de la va- riable réelle x.

• ?? cosx


• points de ?d'abscisses respectives


• point de coordonnées


• courbe représentative de la fonctiong

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1979
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Bordeaux septembre 1979\

E X E R C IC E 1 Étant donné un entier relatifnon considère les entiers relatifs :

5 P O IN TS

A=3n+4 etB=9n−5. 1.Déterminer, suivant les valeurs den, le plus grand commun diviseur deAet B. 2.Déterminer les valeurs denpour que le plus grand commun diviseur deAet Bsoit égal à 17 et le plus petit commun multiple deAetBsoit égal à 884.

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS ³ ´ −→−→ On considère un plan affine E rapporté à un repère affineO,ı,. Soient A le ′ point de coordonnées (1 ; 2) et Ale point de coordonnées (3, ; 4). ′ On désigne parfet dontl’application affine de E dans E qui transforme A en A l’endomorphisme associéϕvérifie les deux propriétés : a.ϕest involutif ³ ´ −→−→−→ b.ϕı=ı+2.

1.festelle bijective ? ³ ´ −→ 2.Déterminerϕ . ¡ ¢ 3.Trouver les coordonnéesx 1 ;y 1 du pointM 1 transformé d’un pointMde coordonnées (x;y) par l’applicationf. 4.festelle involutive ?fpossèdetelle des points invariants ?

P R O B L È M E 12 P O IN TS On désigne parFl’ensemble des fonctions numériques, définies surR, de la va riable réellex. On rappelle que cet ensemble, muni de l’addition des fonctions et de la multiplication par un nombre réel, est un espace vectoriel surR. On notera parθl’élément neutre pour l’addition (pour toutx∈R,θ(x)=0). On désigne parJl’ensemble des éléments deFqui sont intégrables sur tout inter valle fermé borné [−a;a] (a>0). On rappelle que, pour toutf∈J,a>0, il existeM a,f > 0 tel que, pour tout x∈[−a;a],|f(x)| 6 M a,f . Partie A 1.Dire pourquoi les fonctions suivantes sont éléments de l’ensembleJ

f 1 :x−7→E (x) où E (x) est l’unique élément deZtel que E(x) 6 x<E (x)+1

f 2 :x−→7sinx f 3 :x→−7cosx p f 4 :x|7−→x|

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

2.Montrer que, pour toutef∈Jet toutx∈R, la relation :  Z x  F(x)=f(t) dtet −x  F(0)=0 détermine un élémentFdeFet une application linéaireΦdeJdansF: f−→7Φ(f)=F. Déterminer l’image parΦde : a.la fonction nulleθ b.la fonction constantek:x→−7k(k∈R)

c.la fonction id R :x→−7x d.la fonctionf 2 e.la fonctionf 3 3. a.Montrer que, pour toutx>0 : Z x f 1 (t) dt=0 −x (On pourra utiliser des considérations graphiques en faisant intervenir 2 le pointωdeRde coordonnées (1/2 ; 0). b.Montrer que, pour toutx∈R: Z x+1f 1 (t) dt=x x c.Déterminer l’image parΦde la fonctionf 1 . Partie B 1.Montrer que, pour toutef∈J, la fonctionF=Φ(f) est une fonction conti nue, impaire. Prouver que l’applicationΦappliqueJdansJ. 2.Montrer que sif∈Jest impaire alorsΦ(f)=θ. (On pourra utiliser des consi dérations graphiques). En déduire quelle est l’applicationΦ◦φdeJdansJ. 3.On suppose quef∈Fest continue surR. Montrer que, dans ces conditions, ′ Φ(f)=Fest une fonction dérivable. ExprimerF(x) en fonction def(x) et f(−x). 4.Déterminer l’ensemble des fonctions deJqui sont continues et élément du noyau de cf>. Partie C On considère l’élémentgdeJdéfini par  1   si|x| 6 2 Log 2 g(x)= 1   si|x| >2 Logx 1.Construire la courbe représentativeγde la fonctiongdans un plan affine eu clidien rapporté à un repère orthonormé. Montrer queg∈J. 2.SoitG=Φ(g). On ne cherchera pas à calculerG(x). 1 1 Démontrer que, pour toutt>2,>. Logt t En déduire quelimG(x)= +∞. x→+∞

Bordeaux

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Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

Z x 1 3.Soith(x)=dtpourx > 2 2 Logt ′ ′′ Soient A, N, M les points deγd’abscisses respectives 2,xetx; A, M, Nleurs ′ projections orthogonales sur l’axexOxpourx > 4. En majoranth(x) par la somme des aires de deux trapèzes montrer que · ¸· ¸ x−2 11x−x1 1 h(x) 6 + ++ 2 Log2 Log x 2 Logx Logx h(x)G(x) En déduire quelim=lim=0. x→+∞x→+∞ x x 4.Construire la courbe représentative de la fonctionGdans un plan affine eucli dien rapporté à un repère orthonormé.

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